Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過M，F(xiàn)，O三點(diǎn)的圓的圓心為Q，點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為

3

2

．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）是否存在點(diǎn)M，使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）⊙Q過M、F、O三點(diǎn)，結(jié)合圓的性質(zhì)得Q點(diǎn)一定在線段FO的中垂線y=

p

4

上，再根據(jù)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為3，由此列方程并解之可得p=2，從而得到拋物線C的方程；
（II）將拋物線化成二次函數(shù)：y=

1

4

x²，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到切線MQ：y-

x 2 0

4

=

x0

2

(x-x0)，結(jié)合y_Q=

1

2

，得到xQ=

1

x0

+

x0

2

，最后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合|MQ|=|OQ|列出關(guān)于x₀的方程并解之，可得存在M(2

2

，2)，使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M．

解答：解：（Ⅰ）∵⊙Q過M、F、O三點(diǎn)，
∴Q一定在線段FO的中垂線上，
∵拋物線x²=2py的焦點(diǎn)F（0，

p

2

），O（0，0）
∴FO的中垂線為：y=

p

4

，設(shè)Q（x_Q，y_Q），得yQ=

p

4

，
結(jié)合拋物線的定義，得Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為

p

4

-(-

p

2

)=

3

2

，解之得p=2
由此可得，拋物線C的方程為x²=4y
（Ⅱ）設(shè)存在點(diǎn)M（x0，

x02

4

），拋物線化成二次函數(shù)：y=

1

4

x²，
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得y′=

1

2

x，得切線MQ：y-

x 2 0

4

=

x0

2

(x-x0)，
由（1）知，y_Q=

1

2

，所以對(duì)MQ方程令y=

1

2

，得xQ=

1

x0

+

x0

2

∴Q（

x0

2

+

1

x0

，

1

2

），
結(jié)合|MQ|=|OQ|得：(

x0

2

+

1

x0

)2+

1

4

=(

x0

2

-

1

x0

)2+(

x02

4

-

1

2

)2，
解之得x0=2

2

，得M(2

2

，2)
所以存在M(2

2

，2)，使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M．

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線上兩個(gè)點(diǎn)與它的焦點(diǎn)在同一個(gè)圓上，在已知圓心到準(zhǔn)線距離的情況下求拋物線方程并探索拋物線的切線問題，著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和直線與拋物線關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．