Question

1．已知點(diǎn)P在拋物線y=x²上，點(diǎn)Q在圓（x-4）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=1上，則|PQ|的最小值為（　�。�

• A． $\frac{3\sqrt{5}}{2}$-1
• B． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$-1
• C． 2$\sqrt{3}$-1
• D． $\sqrt{10}$-1

Answer 1

分析 設(shè)P（t，t²），求出|PC|²=t⁴+2t²-8t+16+$\frac{1}{4}$，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最小值，由此能求出|PQ|的最小值．

解答 解：∵點(diǎn)P在拋物線y=x²上，∴設(shè)P（t，t²），
∵圓（x-4）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=1的圓心C（4，-$\frac{1}{2}$），半徑r=1，
∴|PC|²=（4-t）²+（$-\frac{1}{2}$-t²）²=t⁴+2t²-8t+16+$\frac{1}{4}$，
令y=|PC|²=t⁴+2t²-8t+16+$\frac{1}{4}$，y′=4t³+4t-8=0，可得t³+t-2=0，解得t=1，當(dāng)t＜1時(shí)，y′＜0，當(dāng)t＞1，y′＞0，可知函數(shù)在t=1時(shí)取得最小值，|PC|²_min=$\frac{45}{4}$
|PQ|的最小值=$\frac{3\sqrt{5}}{2}-1$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查圓的方程和拋物線方程的應(yīng)用，及相關(guān)的運(yùn)算問題．