Question

已知函數f（x）=3sin（ωx+

π

3

）（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求ω值；
（2）若函數g（x）=f（x）（

x

2

+

π

12

），α，β∈（0，π），且g（α）=1，g（β）=

3 2

4

，求g（α-β）的值．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）直接由周期公式結合題目給出的周期求得ω值；
（2）由（1）求出函數解析式，代入g（x）=f（x）（

x

2

+

π

12

）得到g（x），分別由g（α）=1，g（β）=

3 2

4

求得α、β的正余弦值，由兩角差的余弦得答案．

解答： 解：（1）∵函數f（x）的最小正周期為π，且ω＞0，
∴

2π

ω

=π，解得ω=2；
（2）由（1）得，f（x）=3sin(2x+

π

3

)．
依題意有g（x）=3sin[2×(

x

2

+

π

12

)+

π

3

]=3sin(x+

π

2

)=3cos x．
由g（α）=3cos α=1，得cos α=

1

3

，
由g（β）=3cos β=

3 2

4

，得cos β=

2

4

．
∵α，β∈（0，π），
∴sin α=

2 2

3

，sin β=

14

4

．
∴g（α-β）=3cos（α-β）=3（cos αcos β+sin αsin β）
=3×(

1

3

×

2

4

+

2 2

3

×

14

4

)=

2 +4 7

4

．

點評：本題考查了y=Asin（ωx+φ）型函數的圖象，考查了由已知三角函數值求未知三角函數值的方法，是中檔題．