Question

2．設(shè)點F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=4，P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過定點D（t，0）（|t|＜2）作直線l交曲線C于A、B兩點，設(shè)O為坐標(biāo)原點，若直線l與x軸垂直，求△OAB面積的最大值；
（3）設(shè)t=1，在x軸上，是否存在一點E，使直線AE和BE的斜率的乘積為非零常數(shù)？若存在，求出點E的坐標(biāo)和這個常數(shù)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=4，P的軌跡曲線C是橢圓，中心在原點，半長軸a=2，半焦距c=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²．即可得出曲線C的方程．
（2）不妨設(shè)直線l：x=t與橢圓的交點為A（t，-y），B（t，y）（y＞0），把x=t代入橢圓方程可得：y=$\frac{1}{2}\sqrt{4-{t}^{2}}$，S_△OAB=$\frac{1}{2}$|t|$\sqrt{4-{t}^{2}}$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（3）設(shè)直線l與橢圓的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可設(shè)直線l：x=λy+1，與橢圓方程聯(lián)立化為（λ²+4）y²+2λy-3=0，△＞0，x₁=λy₁+1，x₂=λy₂+1．假設(shè)在x軸上，存在一點E（m，0），使直線AE和BE的斜率的乘積為非零常數(shù)，即k_AE•k_BE=s≠0．利用斜率計算公式、根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：（1）由動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=4，P的軌跡曲線C是橢圓，
中心在原點，半長軸a=2，半焦距c=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=1．
∴曲線C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）不妨設(shè)直線l：x=t與橢圓的交點為A（t，-y），B（t，y）（y＞0），
把x=t代入橢圓方程可得：y=$\frac{1}{2}\sqrt{4-{t}^{2}}$，
S_△OAB=$\frac{1}{2}$|t|$\sqrt{4-{t}^{2}}$≤$\frac{1}{2}×\frac{{t}^{2}+（4-{t}^{2}）}{2}$=1，
當(dāng)且僅當(dāng)|t|=$\sqrt{4-{t}^{2}}$，即t=$±\sqrt{2}$時取等號，此時D$（±\sqrt{2}，0）$，
綜上可得：△OAB面積的最大值為1．
（3）設(shè)直線l與橢圓的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可設(shè)直線l：x=λy+1，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=λy+1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
化為（λ²+4）y²+2λy-3=0，△=4λ²+12（λ²+4）＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{-2λ}{{λ}^{2}+4}$，∴x₁•x₂=$\frac{-3}{{λ}^{2}+4}$，x₁=λy₁+1，x₂=λy₂+1．
假設(shè)在x軸上，存在一點E（m，0），
使直線AE和BE的斜率的乘積為非零常數(shù)，即k_AE•k_BE=s≠0．
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}$$•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-m}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}-m（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}}$=s，
-3=s（m²-4）λ²+4s（m-1）²（m為常數(shù)，s是非零常數(shù)）．
要使得等式對λ恒成立，則$\left\{\begin{array}{l}{s（{m}^{2}-4）=0}\\{-3=4s（m-1）^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{s=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{s=-\frac{1}{12}}\end{array}\right.$．
即當(dāng)定點E是橢圓的右頂點（2，0）時，非零常數(shù)s=-$\frac{3}{4}$．
當(dāng)定點E是橢圓的左頂點（-2，0）時，非零常數(shù)s=-$\frac{1}{12}$．
綜上可得：當(dāng)定點E是橢圓的右頂點（2，0）時，非零常數(shù)s=-$\frac{3}{4}$．
當(dāng)定點E是橢圓的左頂點（-2，0）時，非零常數(shù)s=-$\frac{1}{12}$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．