(06年山東卷理)(12分)

如圖,已知平面平行于三棱錐的底面ABC,等邊△所在的平面與底面ABC垂直,且∠ACB=90°,設

(1)求證直線是異面直線的公垂線;

(2)求點A到平面VBC的距離;

(3)求二面角的大小。

解析:解法1:(Ⅰ)證明:∵平面∥平面,

又∵平面⊥平面,平面∩平面,

⊥平面,

,

,.

的公垂線.

(Ⅱ)解法1:過A作于D,

      

 

∵△為正三角形,∴D為的中點.

∵BC⊥平面,∴,

,∴AD⊥平面,

∴線段AD的長即為點A到平面的距離.

在正△中,.

∴點A到平面的距離為.

解法2:取AC中點O連結(jié),則⊥平面,且=.

由(Ⅰ)知,設A到平面的距離為x,

,

,解得.

即A到平面的距離為.

所以,到平面的距離為.

(III)過點作,連,由三重線定理知

是二面角的平面角。

中,

。

。

所以,二面角的大小為arctan.

解法二:

中點,易知底面,過作直線。

為空間直角坐標系的原點,所在直線分別為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標系。

(I),

,

由已知。,

。又顯然相交,

的公垂線。

(II)設平面的一個法向量,

  又

  由

 得

到平面的距離,即在平面的法向量上的投影的絕對值。

,設所求距離為。

       則

       ,所以,A到平面VBC的距離為.

(III)設平面的一個法向量

 由    

 取    

二面角為銳角,

所以,二面角的大小為

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