Processing math: 100%
2.已知橢圓C方程為x2a2+y22=1(a>b>0),離心率e=32,過焦點且與長軸垂直的直線被橢圓所截得線段長為1.
(1)求橢圓C方程;
(2)D,E,F(xiàn)為曲線C上的三個動點,D在第一象限,E,F(xiàn)關于原點對稱,且|DE|=|DF|,問△DEF的面積是否存在最小值?若存在,求出此時D點的坐標;若不存在,請說明理由.

分析 (1)由過焦點且與長軸垂直的直線被橢圓所截得線段長為1,可得22a=1,又e=32=ca,a2=b2+c2,聯(lián)立解出即可得出.
(2)設直線EF的方程為:y=kx,則直線OD的方程為:y=1kx.(k≠0).聯(lián)立{y=kxx2+4y2=4,解得x2E,y2E.可得:|EF|2=4(x2E+y2E).同理可得:xD,yD.|OD|2.設△DEF的面積=S.可得S2=14|EF|2|OD|2,化簡利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

解答 解:(1)∵過焦點且與長軸垂直的直線被橢圓所截得線段長為1,
22a=1,又e=32=ca,a2=b2+c2,
聯(lián)立解得a=2,b=1,c=3
∴橢圓C的方程為x24+y2=1.
(2)設直線EF的方程為:y=kx,則直線OD的方程為:y=1kx.(k≠0).
聯(lián)立{y=kxx2+4y2=4,解得x2E=41+4k2y2E=4k21+4k2
∴|EF|2=4(x2E+y2E)=161+k21+4k2
同理可得:xD=2k4+k2,yD=24+k2
|OD|2=41+k24+k2
設△DEF的面積=S.
∴S2=14|EF|2|OD|2=14×161+k21+4k2×41+k24+k2=161+k224+17k2+4k4=f(k),
令1+k2=t>1,則f(k)=16t24t2+9t9=1691t122+2546425
當且僅當t=2,k=-1時取等號.
∴△DEF的面積存在最小值85
此時D255255

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、相互垂直的直線斜率之間的關系、“換元法”、三角形面積計算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

12.已知拋物線y2=2px(p>0),△ABC的三個頂點都在拋物線上,O為坐標原點,設△ABC三條邊AB,BC,AC的中點分別為M,N,Q,且M,N,Q的縱坐標分別為y1,y2,y3.若直線AB,BC,AC的斜率之和為-1,則1y1+1y2+1y3的值為( �。�
A.-12pB.-1pC.1pD.12p

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

13.拋物線y2=x上一點M到焦點的距離為1,則點M的橫坐標是34

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

10.如圖,點F1,F(xiàn)2分別是橢圓C1x2a2+y22=1(a>b>0)的左、右焦點,點A是下頂點,拋物線C2:y=x2-1與x軸交于點F1,F(xiàn)2,與y軸交于點B,且點B是線段OA的中點,點N為拋物線上C2的一動點,過點N作拋物線C2的切線交橢圓C1于P,Q兩點.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)若點M(0,-45),求△MPQ面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

17.設α,β為兩個不重合的平面,m,n是兩條不重合的直線,α⊥β,α∩β=m,則以下說法正確的是(  )
A.若m⊥n,則n⊥βB.若m⊥n,n?α,則n⊥βC.若m∥n,則n∥βD.若m∥n,則n⊥β

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

7.為考查某種疫苗預防疾病的效果,進行動物實驗,得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表:
未發(fā)病發(fā)病合計
未注射疫苗20xA
注射疫苗30yB
合計5050100
現(xiàn)從所有試驗動物中任取一只,取到“注射疫苗”動物的概率為25
(1)求2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x,y,A,B的值;
(2)繪制發(fā)病率的條形統(tǒng)計圖,并判 斷疫苗是否有效?
(3)能夠有多大把握認為疫苗有效?
附:K2=nadbc2a+bc+da+cb+d
P( K2≤K00.050.010.0050.001
K03.8416.6357.87910.828

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

14.求滿足以C(2,-1)為圓心且與直線3x-4y-5=0相切圓的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

11.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12,過右焦點F且垂直于x軸的直線與橢圓C相交于M,N兩點,且|MN|=3.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設直線l經(jīng)過點F且斜率為k,l與橢圓C相交于A,B兩點,與以橢圓C的右頂點E為圓心的圓相交于P,Q兩點(A,P,B,Q自下至上排列),O為坐標原點.若OAOB=-95,且|AP|=|BQ|,求直線l和圓E的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

12.直線y=kx-k+1與橢圓x22+y23=1的位置關系是( �。�
A.相交B.相切C.相離D.不確定

查看答案和解析>>

同步練習冊答案