Question

函數(shù)y=f（x）^g（x）在求導(dǎo)數(shù)時(shí)，可以運(yùn)用對(duì)數(shù)法：在函數(shù)解析式兩邊求對(duì)數(shù)得lny=g（x）lnf（x），兩邊求導(dǎo)數(shù)

y′

y

=g′(x)lnf(x)+g(x)

f′(x)

f(x)

，于是y'=f（x）^g（x）[g′(x)lnf(x)+g(x)

f′(x)

f(x)

]．運(yùn)用此方法可以探求得知y=x

1

x

(x＞0)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為

 

．

Answer 1

分析：仔細(xì)分析題意，找出f（x），g（x），然后依據(jù)題意求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，求出一個(gè)單調(diào)增區(qū)間即可．

解答：解：仿照題目給定的方法，f（x）=x，g（x）=

1

x

所以f′（x）=1，g′（x）=-

1

x2

所以，y′=(-

1

x2

lnx+

1

x

•

1

x

)x

1

x

=

1-lnx

x2

x

1

x

∵x＞0∴x

1

x

＞0 ， x2＞0 
∴要使y′＞0，只要 1-lnx＞0
即：x∈（0，e）
y=x

1

x

(x＞0)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為：（0，e）或它的一個(gè)子集即可，
故答案為：（0，e）或它的一個(gè)子集．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查計(jì)算能力，分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是基礎(chǔ)題．