Question

如圖的倒三角形數陣滿足：⑴ 第1行的個數，分別是1，3，5，…，；⑵ 從第二行起，各行中的每一個數都等于它肩上的兩數之和；⑶ 數陣共有行．問：當時，第32行的第17個數是                  ；

 

Answer 1

【答案】

；

【解析】解：設第k行的第一個數為ak，

則a₁=1，

a₂=4=2a₁+2，

a₃=12=2a₂+2²，

a₄=32=2a₃+2³，

…

由以上歸納，得a_k=2a_k-1+2^k-1（k≥2，且k∈N*），

∴a_k/ 2^k =a _k-1/ 2^k-1 +1 /2 ，即a_k/ 2^k -a _k-1/ 2^k-1  =1/ 2 ，

∴數列{a_n /2ⁿ }是以a₁ /2 =1 /2 為首項，以1 /2 為公差的等差數列，

∴a_n /2ⁿ  =1 /2 +(n-1)×1 /2 =n /2 ，

∴a_n=n•2^n-1（n∈N*）．

由數陣的排布規(guī)律可知，每行的數（倒數兩行另行考慮）都成等差數列，

且公差依次為：2，2²，…，2^k，…

第n行的首項為a_n=n•2^n-1（n∈N*），公差為2ⁿ，

∴第32行的首項為a₃₂=32•2³¹=236，公差為2³²，

∴第32行的第17個數是2³⁶+16×2³²=237．

故答案為：237．