Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=-an-(

1

2

)n-1+2（n為正整數(shù)）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令cn=

n+1

n

an，T_n=c₁+c₂+…+c_n，求T_n的值．

Answer 1

分析：（1）在Sn=-an-(

1

2

)n-1+2中，令n=1，得a1=

1

2

．當(dāng)n≥2時，Sn-1=-an-1-(

1

2

)n-2+2，所以an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(

1

2

)n-1，由b_n=2ⁿa_n，知b_n=b_n-1+1，即當(dāng)n≥2時，b_n-b_n-1=1．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由cn=

n+1

n

an=(n+1)(

1

2

)n，知Tn=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+(n+1)(

1

2

)n，由錯位相減法能夠求出T_n的值．

解答：解：（1）在Sn=-an-(

1

2

)n-1+2中，
令n=1，可得S₁=-a₁-1+2=a₁，
即a1=

1

2

當(dāng)n≥2時，Sn-1=-an-1-(

1

2

)n-2+2，
∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(

1

2

)n-1，
∴2an=an-1+(

1

2

)n-1，即2nan=2n-1an-1+1．
∵b_n=2ⁿa_n，∴b_n=b_n-1+1，
即當(dāng)n≥2時，b_n-b_n-1=1．
又b₁=2a₁=1，
∴數(shù)列{b_n}是首項和公差均為1的等差數(shù)列．
于是b_n=1+（n-1）•1=n=2ⁿa_n，
∴an=

n

2n

．
（2）由（1）得cn=

n+1

n

an=(n+1)(

1

2

)n，
所以Tn=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+(n+1)(

1

2

)n

1

2

Tn=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+4×(

1

2

)4+…+(n+1)(

1

2

)n+1
由①-②得

1

2

Tn=1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-(n+1)(

1

2

)n+1

=1+ 1 4 [1-( 1 2 )n-1] 1- 1 2 -(n+1)( 1 2 )n+1= 3 2 - n+3 2n+1 ∴Tn=3- n+3 2n

點評：本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項，結(jié)合含兩個變量的不等式的處理問題，對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯．解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運(yùn)用．