Question

已知某幾何體的直觀圖(圖1)與它的三視圖(圖2)，其中俯視圖為正三角形，主視圖及左視圖是矩形.

（1）求出該幾何體的體積；

（2）是棱上的一點(diǎn)，若使直線,試確定點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；

（3）在（2）成立的條件下，求證:平面.

 

Answer 1

 解：由三視圖可知該幾何體為正三棱柱，底面是高為的正三角形，三棱柱的高，……………………………………………… 2分

（1）底面是高為的正三角形，易知底面邊長為2，

所以底面面積，

所求體積. …………………… 4分

（2）連接，且，因為正三棱柱側(cè)面是矩形，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)， ………… 5分

（方法一）若

連接，,

所以所以是的中位線，所以D為的中點(diǎn).

即為的中點(diǎn)時，. ………………………………… 8分

（方法二）若為棱的中點(diǎn).

連接，所以是的中位線，

所以又，，所以.

即為的中點(diǎn)時，. ………………………………… 8分

（方法三）在中，過作₁，交與D，所以為的中位線，所以的中點(diǎn)，又，

所以

即為的中點(diǎn)時，. ………………………………… 8分

（3）（方法一）在正三棱柱為正三角形，所以，

又由三棱柱性質(zhì)知且

平面，所以 ……………………………… 10分

所以. ………………………… 12分

（方法二）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，三角形A₁B₁C₁為正三角形，所以B₁D⊥A₁C₁，又因為AA₁⊥平面A₁B₁C₁，所以AA₁⊥B₁D. AA₁A₁C₁=A₁，AA₁平面AA₁D，A₁ C₁平面AA₁D，所以B₁D⊥平面AA₁D，………………………………………… 10分

又B₁D平面AB₁D，所以平面AB₁D⊥平面AA₁D.  ………………………… 12分