Question

已知f（x）為二次函數(shù)，不等式f（x）+2＜0的解集為，且對任意α，β∈R恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0．?dāng)?shù)列a_n滿足a₁=1，（n∈N^×）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列b_n的通項公式；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中數(shù)列b_n的前n項和為S_n，求數(shù)列S_n•cos（b_nπ）的前n項和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，（a＞0），
即
令，則sinα=1，cosβ=-1，有f（1）≤0，f（2-1）≥0，
得f（1）=0，即，得．
∴．-（4分）
（Ⅱ）f'（x）=3x+1，則
即，兩邊取倒數(shù)，得，即b_n+1=3+b_n．
∴數(shù)列b_n是首項為，公差為3的等差數(shù)列．
∴b_n=1+（n-1）•3=3n-2（n∈N^*）．（9分）
（Ⅲ）∵cos（b_nπ）=cos（3n-2）π=cos（nπ）=（-1）ⁿ
∴S_n•cos（b_nπ）=（-1）ⁿ•S_n∴T_n=-S₁+S₂-S₃+S₄-+（-1）ⁿS_n．
（1）當(dāng)n為偶數(shù)時T_n=（S₂-S₁）+（S₄-S₃）++（S_n-S_n-1）=b₂+b₄++b_n
=
（2）當(dāng)n為奇數(shù)時=
綜上，（13分）
分析：（Ⅰ）根據(jù)“f（x）為二次函數(shù)，不等式f（x）+2＜0的解集為，”可得到即，再由“任意α，β∈R恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0”可得f（1）≤0，f（2-1）≥0，從而有f（1）=0，解得得到函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）先求導(dǎo)數(shù)f'（x）=3x+1，則即，兩邊取倒數(shù)，有由等差數(shù)列定義求解．
（Ⅲ）化簡得S_n•cos（b_nπ）=（-1）ⁿ•S_n∴以有T_n=-S₁+S₂-S₃+S₄-+（-1）ⁿS_n．再分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況化簡即可．
點評：本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合運用，主要涉及了二次函數(shù)求解析式，構(gòu)造數(shù)列求數(shù)列的通項及前n項和等問題，屬于中檔題．