Question

函數(shù)f（x）=2cos²x+2sinxcosx+3（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）
（2）的最小正周期及對稱軸方程；
（3）若x∈[-

π

4

，

π

4

]，求該函數(shù)的最大、最小值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的正余弦公式，結(jié)合輔助角公式化簡得f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+4；
（2）由三角函數(shù)的周期公式算出T=

2π

2

=π，再根據(jù)正弦曲線的對稱軸方程，解關(guān)于x的等式即可得到函數(shù)圖象的對稱軸方程；
（3）當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時(shí)，可得-

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）的最小值為3，最大值為4+

2

．

解答：解：（1）∵2cos²x=1+cos2x，2sinxcosx=sin2x
∴f(x)=1+cos2x+sin2x+3=sin2x+cos2x+4=

2

sin(2x+

π

4

)+4…（5分）
函數(shù)f（x）的表達(dá)式為：f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+4；
（2）函數(shù)的最小正周期為T=

2π

2

=π
由2x+

π

4

=

π

2

+kπ，解得x=

π

8

+

kπ

2

  (k∈Z)
∴函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=

π

8

+

kπ

2

  (k∈Z)；…（7分）
（2）∵-

π

4

≤x≤

π

4

，∴-

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，
可得-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1…（10分）
∴f(x)∈[3，4+

2

]，即f（x）的最小值為3，最大值為4+

2

…（13分）

點(diǎn)評：本題將一個(gè)三角函數(shù)式化簡，并求函數(shù)的周期與最值．著重考查了三角恒等變換公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)圖象的對稱性等知識，屬于中檔題．