Question

Rt△ABC中，C=90°，AC=4，BC=3，G為△ABC的重心，點(diǎn)P，Q滿足

BP

=t

BC

，

CQ

=t

CA

，則|

GP

+

GQ

|的最小值為

4

5

．

Answer 1

分析：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸建立直角坐標(biāo)系，得到點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，根據(jù)重心坐標(biāo)公式求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，根據(jù)足

BP

=t

BC

，

CQ

=t

CA

，求出點(diǎn)P與Q的坐標(biāo)，從而可求出

GP

+

GQ

的坐標(biāo)，最后根據(jù)向量模的公式可求出|

GP

+

GQ

|，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求出其最小值．

解答：解：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸建立直角坐標(biāo)系，
則C（0，0），B（3，0），A（0，4）
∴G（

0+0+3

3

，

4+0+0

3

）即（1，

4

3

）
∵

BP

=t

BC

，

CQ

=t

CA

，
設(shè)點(diǎn)P（m，0），Q（0，n），
∴（m-3，0）=t（-3，0），（0，n）=t（0，4），
則m=3-3t，n=4t，即點(diǎn)P（3-3t，0），Q（0，4t），
∴

GP

=（2-3t，-

4

3

），

GQ

=（-1，4t-

4

3

），
則

GP

+

GQ

=（1-3t，4t-

8

3

），
∴|

GP

+

GQ

|²=（1-3t）²+（4t-

8

3

）²=25t²-

82

3

t+

73

9

，
∵函數(shù)y=25t²-

82

3

t+

73

9

，是一個(gè)開(kāi)口向上的二次函數(shù)，
∴函數(shù)在對(duì)稱軸處取得最小值

4ac-b2

4a

，
∴|

GP

+

GQ

|²的最小值為

576

900

=

16

25

，
則|

GP

+

GQ

|的最小值為

4

5

．
故答案為：

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用，以及重心坐標(biāo)公式，解題的關(guān)鍵利用坐標(biāo)法進(jìn)行求解，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．