過點(diǎn)P(2,1)作直線l與x軸、y軸正半軸交于A,B兩點(diǎn),求△AOB面積的最小值及此時(shí)直線l的方程.
思路一 因?yàn)榭吹街本€l已經(jīng)過定點(diǎn)P(2,-1),只缺斜率,可先設(shè)出直線l的點(diǎn)斜式方程,且易知k<0,再用k表示A,B點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合函數(shù)及不等式知識(shí)求解. 解法一 設(shè)直線l的方程為y-1=k(x-2), 令y=0,得x= ∵l與x軸、y軸的交點(diǎn)均在正半軸上, ∴ 故△AOB的面積S= (1)利用判別式法 把S=- ∵k∈R, ∴Δ=4(S-2)2-4×4×1≥0, 解之得S≥4或S≤0(舍去),當(dāng)S=4時(shí), 解之得k=- ∴當(dāng)k=- 即l為x+2y-4=0時(shí),△AOB的面積取最小值4. (2)利用均值不等式 S=- �。� ≥ 當(dāng)且僅當(dāng)-4k=- 即k=- 所以,所求方程為y-1=- 即x+2y-4=0. 思路二 由于題目中△AOB的兩直角邊長(zhǎng)就是直線l的縱、橫截距.因此聯(lián)想到直線方程的截距式. 解法二 設(shè)直線l的方程為 ∴A(a,0),B(0,b),且a>0,b>0. ∵點(diǎn)P(2,1)在直線l上,故 由均值不等式:1= 當(dāng)且僅當(dāng) 即a=4,b=2時(shí),S△AOB的面積S= 此時(shí)l方程為 即x+2y-4=0. 思路三 若考慮到圖形的直觀性,利用形數(shù)結(jié)合的思想,又可得到如下兩種幾何味很濃的解法. 解法三 如下圖,過P(2,1)作x軸與y軸的垂線PM,PN,垂足分別為M,N. 設(shè)θ=∠PAM=∠BPN, 則△AOB面積 S=S矩形OMPN+S△PAM+S△BPN =2+ �。�2+ ≥2+2· 當(dāng)且僅當(dāng) 即tanθ= 此時(shí)直線l的方程為y-1=- 即x+2y-4=0. 解法四 如圖所示,過P(2,1)作直線 △ 因而S△PAA′=S△PCB′, ∴S△PBB′>S△PAA′, ∴S△AOB>S△A′OB′ ∴△ 評(píng)析 (1)本題用了四種解法,這四種解法各有特點(diǎn),運(yùn)用了不同的知識(shí),也體現(xiàn)了知識(shí)運(yùn)用的靈活性.解法一和解法二充分體現(xiàn)了用代數(shù)方法解決幾何問題的思想,這也是解析幾何的基本思想;而解法三、解法四則運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的方法,整個(gè)過程顯得自然、簡(jiǎn)捷、清楚、巧妙.?dāng)?shù)形結(jié)合法是高中數(shù)學(xué)中最常用也是最重要的方法之一,在高考中也扮演著重要的角色,應(yīng)充分重視. (2)直線方程的不同形式各自表達(dá)了直線在直角坐標(biāo)系中的幾何特征,為我們根據(jù)不同的幾何條件建立直線方程提供了選擇的方便,但必須注意不同形式方程的適用范圍.點(diǎn)斜式與斜截式不能表示垂直于x軸的直線;截距式不能表示垂直于坐標(biāo)軸(x軸和y軸)和經(jīng)過原點(diǎn)的直線;兩點(diǎn)式方程的分式形式 (3)要正確理解“截距”這一概念,“截距”并非指距離,一般地,曲線C與y軸(x)軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)(橫坐標(biāo))叫做曲線C在y軸(x軸)上的截距,故截距可取一切實(shí)數(shù),而距離必須大于或等于0. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
4 |
3 |
1 |
2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年四川省成都七中高二(上)10月段考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年安徽省淮北市高考數(shù)學(xué)二模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年安徽省淮南市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題
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