Question

已知非零向量

OA

，

OB

，

OC

滿足：

OA

=a

OB

+β

OC

（a，β∈R），給出下列命題：
①若a=

3

2

，β=-

1

2

，則A、B、C三點(diǎn)共線；
②若a＞0，β＞0，|

OA

|=

3

，|

OB

|=|

OC

|=1，＜

OB

，

OC

＞=

2π

3

，＜

OA

，

OB

＞=

π

2

則a+β=3；
③已知等差數(shù)列{a_n}中，a_n＞a_n+1＞0（n∈N^*），a₂=a，a₂₀₀₉=β若A、B、C三點(diǎn)共線，但O點(diǎn) 不在直線BC上，則

1

a3

+

4

a2008

的最小值為9；
④若β≠0，且A、B、C三點(diǎn)共線，則A分

BC

所在的比λ一定為

a

β

．
其中你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)是

①②③④

．

Answer 1

分析：根據(jù)向量共線的充要條件即當(dāng)

OA

=a

OB

+β

OC

，a+β=1?A、B、C三點(diǎn)共線，可判斷①真假；進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及基本不等式可判斷出③的真假，進(jìn)而根據(jù)定點(diǎn)分線段所成比的定義，可判斷④的真假，另外根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算公式，構(gòu)造方程求出α，β值，進(jìn)而判斷出②的真假．

解答：解：根據(jù)向量共線的充要條件，可得當(dāng)

OA

=a

OB

+β

OC

，a+β=1時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線，故當(dāng)a=

3

2

，β=-

1

2

，A、B、C三點(diǎn)共線，故①正確；
∵|

OA

|=

3

，|

OB

|=|

OC

|=1，＜

OB

，

OC

＞=

2π

3

，＜

OA

，

OB

＞=

π

2

，∴

OB

•

OC

=-

1

2

，

OA

•

OB

=0；

OA

²=（a

OB

+β

OC

）²=a²

OB

²+2aβ

OB

•

OC

+β2

OC

2=a²-aβ+β²=3

OA

•

OB

=（a

OB

+β

OC

）•

OB

=a

OB

²+β

OC

•

OB

=a-

1

2

β=0；
又∵a＞0，β＞0，∴a=1，β=2，即a+β=3，故②正確；
A、B、C三點(diǎn)共線，a₂+a₂₀₀₉=a+β=1=a₃+a₂₀₀₈，則

1

a3

+

4

a2008

=（

1

a3

+

4

a2008

）（a₃+a₂₀₀₈）≥1+4+2

a2008 a3 • 4a3 a2008

=9，故③正確；
若A、B、C三點(diǎn)共線，則A分

BC

所在的比λ=

BA

AC

=

OA - OB

OC - OA

=

(α-1) OB +β OC

-α OB +(1-β) OC

=

-β OB +β OC

-α OB +α OC

=

a

β

，故④正確；
故答案為：①②③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷，其中熟練掌握向量共線的充要條件即當(dāng)

OA

=a

OB

+β

OC

，a+β=1?A、B、C三點(diǎn)共線，是解答的關(guān)鍵．