Question

數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁=2，b_n=

bn-1

1+bn-1

，（n≥2，n∈N₊）
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

2n+1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

1

bn

=

1

bn-1

+1，從而{

1

bn

}是首項(xiàng)為

1

2

，公差為1的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）bn=

2

2n-1

，則

2n+1

bn

=（2n-1）•2ⁿ，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{

2n+1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁=2，b_n=

bn-1

1+bn-1

，（n≥2，n∈N₊），
∴

1

bn

=

1

bn-1

+1，即

1

bn

-

1

bn-1

，n≥2，
∴{

1

bn

}是首項(xiàng)為

1

2

，公差為1的等差數(shù)列，
∴

1

bn

=

1

2

+(n-1)•1=

2n-1

2

，
∴b_n=

2

2n-1

．（n∈N^*）．
（2）bn=

2

2n-1

，則

2n+1

bn

=（2n-1）•2ⁿ，
∴Tn=1•2+3•22+5•23+…+(2n-1)•2n，①
2Tn=1•22+3•23+5•24+…+(2n-1)•2n+1，②
①-②，得：
-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=-2-2（2²+2³+…+2ⁿ）+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=-2-2×

4(1-2n-1)

1-2

+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．