Question

點P在以原點為圓心的單位圓上運動，點P從A（

1

2

，

3

2

）出發(fā)按逆時針方向勻速轉動時，每秒鐘轉ω（ω＞0）弧度，點Q（-1，-

3

）為定點，記經(jīng)過x（x≥0）秒后，|

PQ

|²=f（x）．
（1）求f（x）解析式，并求f（x）的值域；
（2）若ω∈N，且f（x）在[5，6]上單調遞增，求ω的所有可能的取值．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的值域

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）應用三角函數(shù)的定義寫出P的坐標，由兩點間的距離公式寫出PQ，并進行化簡同時運用兩角和的正弦公式得到f（x）=5+2

2

sin（ωx+

7π

12

）（ω＞0，x＞0），應用三角函數(shù)的值域，求出f（x）的值域；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的增區(qū)間，求出函數(shù)f（x）的增區(qū)間，由于f（x）在[5，6]上單調遞增，故[5，6]包含在增區(qū)間內，列出不等式，通過k的取值，解出ω的范圍，根據(jù)ω為正整數(shù)，求出ω．

解答： 解：（1）點P經(jīng)過x（x≥0）秒后，轉過ωx弧度，
由于A（

1

2

，

3

2

），∠AOB=

π

3

，
故P的坐標為（cos（ωx+

π

3

），sin（ωx+

π

3

）），
∴|

PQ

|²=f（x）=[cos（ωx+

π

3

）+1]²+[sin（ωx+

π

3

）+

3

]²
=5+2cos（ωx+

π

3

）+2

3

sin（ωx+

π

3

）=5+4sin（ωx+

π

2

）（ω＞0），
即f（x）=5+4sin（ωx+

π

2

）（ω＞0，x＞0），
且f（x）的值域為[1，9]；
（2）令2kπ-

π

2

≤ωx+

π

2

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
則2kπ-π≤ωx≤2kπ，
∵ω＞0，ω∈N，x＞0，∴k為正整數(shù)，
∵f（x）在[5，6]上單調遞增，
∴2kπ-π≤5ω且6ω≤2kπ，
當k=1時，

π

5

≤ω≤

π

3

，可得ω=1，
當k=2時，

3π

5

≤ω≤

2π

3

，可得ω=2，
當k＞2時，不存在正整數(shù)ω，使之成立，
∴ω的所有可能的取值為：1，2．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的化簡，以及三角函數(shù)的性質，主要是值域和單調性，注意k的取值，三角公式的逆用．