解:(1)由
,得x
2-(t+1)x=0,
∴x
1=0,x
2=t+1即直線l
2與f(x)的圖象的交點橫坐標分別為0,t+1,
∵0<t<1,1<t+1<2,
∴s(t)=
+
=
+
=(t+1)
3-6t+2
(2)由(1)知L(t)=S(t)+6t-2=(t+1)
3,L
′(t)=3(t+1)
2>0,
∴當0<t<1時,L(t)為增函數(shù),故不存在極值,
(3)依據(jù)定義,h(x)=(x+1)
3-6x+2,x∈R,h
′(x)=3(x+1)
2-6,
∵m≠4,則點A(1,m)不在曲線y=h(x)上,過點A作曲線y=h(x)的切線,
設切點M為(x
0,y
0),則
=
化簡整理得
有三個不等實根,
設g(x
0)=
,則
,
由g
′(x
0)>0,得x
0>1或x
0<-1;由g
′(x
0)<0得-1<x
0<1,
∴g(x
0)在區(qū)間(-∞,-1),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(-1,1)上單調(diào)遞減,
∴當x
0=-1時,函數(shù)g(x
0)取極大值,當x
0=1時,函數(shù)g(x
0)取極小值,
因此,關于x
0的方程
有三個不等實根的充要條件是
,
即
,即-4<m<4,
故實數(shù)m的取值范圍是(-4,4).
分析:(1)聯(lián)立方程求出直線l
2與f(x)的圖象的交點橫坐標,再由定積分求出陰影部分的面積;
(2)由(1)求出L(t)的解析式,再求出L
′(t)>0,再由極值的定義進行判斷;
(3)由(2)和定義求出h(x),再求出h
′(x),利用過點A的切線斜率相等,以及導數(shù)的幾何意義和斜率公式列出方程,
轉(zhuǎn)化為此方程由三個根,進而構造出相應的函數(shù),利用導數(shù)求出此函數(shù)的極值,令極大值大于零、極小值小于零列出關于m的不等式求出.
點評:本題考查利用定積分求面積,以及利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值,考查學生分析、解決問題的能力和轉(zhuǎn)化思想.