Question

已知直線l過點C（4，1），
（1）若直線l在兩坐標軸上截距相等，求直線l的方程．
（2）若直線l分別與x軸、y軸的正半軸相交于A，B兩點，O為坐標原點，記|OA|=a，|OB|=b，求a+b的最小值，并寫出此時直線l的方程．

Answer 1

考點：直線的截距式方程

專題：直線與圓

分析：（1）直線l在兩坐標軸上的截距相等，就是說過原點和不過原點兩種，不過原點的斜率為

1

4

；
（2）根據(jù)過點C得出

4

a

+

1

a

=1，然后利用均值不等式得出a=2b，進而得出a和b的值．

解答： 解：（1）若直線l過原點，設其方程為：y=kx，
又直線l過點C（4，1），則4k=1
∴k=

1

4

∴y=

1

4

x即x-4y=0
若直線l不過原點，設其方程為：

x

a

+

y

a

=1，
∵直線l過點C（4，1），
∴

4

a

+

1

a

=1
解得：a=5
直線l的方程為x+y-5=0；
綜上，l的方程為x-4y=0或x+y-5=0
（2）設l的方程為：

x

a

+

y

b

=1，
∵直線l過點C（4，1），
∴

4

a

+

1

b

=1（1）
∴a+b=（a+b）（

4

a

+

1

b

）=5+

4b

a

+

a

b

≥5+2

4b a • a b

=9當且僅當

4b

a

=

a

b

即a=2b時取等號，將a=2b與（1）式聯(lián)立得a=6，b=3，l的方程為x+2y-6=0
綜上，a+b的最小值為9，l的方程為x+2y-6=0

點評：本題學生解題時容易漏掉直線過原點的情況，這是需要牢記．