Question

已知橢圓的離心率為，右焦點為F（1，0），直線l經(jīng)過點F且與橢圓交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是橢圓上的一個動點，求|PO|²+|PF|²的最大值和最小值；
（3）當(dāng)直線l繞點F轉(zhuǎn)動時，試問：在x軸上是否存在定點S，使為常數(shù)，若存在，求出定點S的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的右焦點為F（1，0），可求c值，再根據(jù)離心率為，可求出a的值，由a，b，c的關(guān)系得到b，則橢圓的方程就能求出．
（2）把|PO|²+|PF|²用P點坐標(biāo)表示，再根據(jù)P點在橢圓上，橫縱坐標(biāo)有范圍，就可得到|PO|²+|PF|²的最大值和最小值．
（3）因為直線l繞點F轉(zhuǎn)動，可設(shè)出直線l的點斜式方程，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)S點坐標(biāo)，代入計算，若計算結(jié)果為常數(shù)，則存在，否則，不存在．
解答：解：（1），所以橢圓方程
（2）設(shè)，
即2y²=2-x²，F(xiàn)（1，0）|PO|²+|PF|²=x²+y²+（x-1）²+y²=2y²+x²+（x-1）²=（x-1）²+2
而2y²=2-x²≥0，∴
當(dāng)x=1時，（|PO|²+|PF|²）_min=2，當(dāng)時，
（3）①若直線l斜率存在時，設(shè)l方程為y=k（x-1）
由消去y得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
設(shè)S（t，0）、A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）

=（λ為常數(shù)）
即2（k²+1）（k²-1）-4k²（t+k²）+（1+2k²）（t²+k²）=λ（1+2k²）（2t²-4t-2λ+1）k²+t²-λ-2=0
由，解得
②若斜率κ不存在時，、S（t，0）=
綜上得，存在，使．
點評：本題考查了橢圓方程的求法，以及存在性問題的解法，屬于常規(guī)題，應(yīng)當(dāng)掌握．