已知數(shù)列{an}中,前n項和為Sn,a1=5,并且Sn+1=Sn+2an+2n+2(n∈N*),
(1)求a2,a3的值;
(2)設(shè)bn=
an
2n
,若實數(shù)λ使得數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,求λ的值;
(3)不等式an<(t-
n+1
2n-5
)•3n
對任何的n∈N*恒成立,求t的范圍.
分析:(1)由已知可得Sn+1-Sn=an+1=2an+2n+2(n∈N*),分別令n=1,n=2可遞次得到a2,a3的值;
(2)由bn=
an
2n
,分別求出b1,b2,b3的值,結(jié)合數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,可求出λ的值;
(3)不等式an<(t-
n+1
2n-5
)•3n
對任何的n∈N*恒成立,即t>
an
3n
+
n+1
2n-5
=
2n-1•(4n+1)
3n
+
n+1
2n-5
對任何的n∈N*恒成立,求出Cn的最大值,可得t的取值范圍.
解答:解:(1)∵Sn+1=Sn+2an+2n+2(n∈N*),
∴Sn+1-Sn=2an+2n+2(n∈N*),
即an+1=2an+2n+2(n∈N*),
又∵Sn=2an+2n+2(n∈N*),
∴a2=2a1+23=10+8=18,
a3=2a2+24=36+16=52
(2)∵bn=
an
2n

∴b1=
a1
2 
=
5+λ
2 
,
b2=
a2
22
=
18+λ
4

b3=
a3
23
=
52+λ
8
,
∵數(shù)列{bn}為等差數(shù)列
∴2b2=b1+b3=2×
18+λ
4
=
5+λ
2 
+
52+λ
8

解得λ=0
(3)由(2)得bn=
an
2n

∴b1=
5
2 
,
b2=
9
2 

∴d=b2-b1=2,
即數(shù)列{bn}是公差d=2,首項為b1=
5
2 
的等差數(shù)列
∴bn=
an
2n
=
5
2 
+2(n-1)=
4n+1
2

∴an=2n-1•(4n+1)
an<(t-
n+1
2n-5
)•3n
對任何的n∈N*恒成立,
則t>
an
3n
+
n+1
2n-5
=
2n-1•(4n+1)
3n
+
n+1
2n-5
對任何的n∈N*恒成立,
令Cn=
2n-1•(4n+1)
3n
+
n+1
2n-5

則Cn+1=
2n•(4n+5)
3n+1
+
n+2
2n-3

則Cn+1-Cn=[
2n•(4n+5)
3n+1
-
2n-1•(4n+1)
3n
]+(
n+2
2n-3
-
n+1
2n-5

=
2n-1•(7-4n)
3n+1
+
-2
(2n-3)(2n-5)

顯然當n≥3時,Cn+1-Cn<0,即Cn的值隨n的增大而減小
又∵C1=1,C2=-1,C3=5
25
27

∴t>5
25
27
點評:本題考查的知識點是等差數(shù)列的定義,恒成立問題,其中(3)的難度較大,特別是在求Cn的最大值時.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)
,則
lim
n→∞
an
=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=
an
1+2an
,則{an}的通項公式an=
1
2n-1
1
2n-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{
2n
an
}
的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=
1
2
Sn
為數(shù)列的前n項和,且Sn
1
an
的一個等比中項為n(n∈N*
),則
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,則數(shù)列{an}的通項公式為( 。
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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