Question

設(shè)f（x）=2x²-lnx在區(qū)間（k-1，k+1）上不是單調(diào)函數(shù)，其中（k-1，k+1）是f（x）定義域區(qū)間的一個(gè)子區(qū)間，則k的取值范圍是

[1，

3

2

)

．

Answer 1

分析：先求導(dǎo)函數(shù)，再進(jìn)行分類討論，同時(shí)將函數(shù)f（x）=2x²-lnx在其定義域的一個(gè)子區(qū)間（k-1，k+1）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f′（x）在其定義域的一個(gè)子區(qū)間（k-1，k+1）內(nèi)有正也有負(fù)，從而可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：求導(dǎo)函數(shù)，f′（x）=4x-

1

x

①當(dāng)k=1時(shí)，（k-1，k+1）為（0，2），函數(shù)在（0，

1

2

）上單調(diào)減，在（

1

2

，2）上單調(diào)增，滿足題意；
②當(dāng)k≠1時(shí)，∵函數(shù)f（x）=2x²-lnx在其定義域的一個(gè)子區(qū)間（k-1，k+1）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)
∴f′（x）在其定義域的一個(gè)子區(qū)間（k-1，k+1）內(nèi)有正也有負(fù)
∴f′（k-1）f′（k+1）＜0
∴（4k-4-

1

k-1

）（4k+4-

1

k+1

）＜0
∴

4k2-8k+3

k-1

×

4k2+8k+3

k+1

＜0
∴

(2k-3)(2k-1)(2k+3)(2k+1)

(k-1)(k+1)

＜0
∵k-1＞0
∴k+1＞0，2k+1＞0，2k+3＞0，
∴（2k-3）（2k-1）＞＜0，解得1＜k＜

3

2

綜上知k的取值范圍是[1，

3

2

)，
故答案為：[1，

3

2

)．

點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，分類討論，等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．