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已知曲線C1:ρcos(θ+
π
4
)=
2
2
;曲線C2:ρ2=
3
2-cos2θ

(1)試判斷曲線C1與C2的交點個數;
(2)若過點M(1,0)直線l與曲線C2交于兩個不同的點A,B,求
|MA|•|MB|
|AB|
的取值范圍.
分析:(1)分別把ρcos(θ+
π
4
)=
2
2
和ρ2=
3
2-cos2θ
化為直角坐標方程得x-y=1和x2+3y2=3,聯立方程組,根據方程組解的個數可判斷交點個數;
(2)分兩種情況進行討論:①當直線l存在斜率時,設l的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),聯立直線l方程與曲線C2的方程消掉y得x的二次方程,由韋達定理及弦長公式可表示
|MA|•|MB|
|AB|
為關于k的函數,由k2范圍可得
|MA|•|MB|
|AB|
的范圍;當直線l不存在斜率時,易求A、B坐標及|MA|、|MB|、|AB|,此時可求
|MA|•|MB|
|AB|
的值,綜合①②可得答案;
解答:解:(1)由ρcos(θ+
π
4
)=
2
2
,得
2
2
ρ(cosθ-sinθ)=
2
2
,
所以x-y=1,
由ρ2=
3
2-cos2θ
,得ρ2(3-2cos2θ)=3,
所以3(x2+y2)-2x2=3,即x2+3y2=3,
x-y=1
x2+3y2=3
得2x2-3x=0,解得x=0或x=
3
2
,
所以曲線C1與C2的交點有兩個;
(2)①當直線l存在斜率時,設l的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),
y=k(x-1)
x2+3y2=3
得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0,
△=36k4-4(1+3k2)(3k2-3)>0,即2k2+1>0恒成立,
x1+x2=
6k2
1+3k2
,x1x2=
3k2-3
1+3k2

|MA|=
1+k2
|x1-1|
,|MB|=
1+k2
|x2-1|
,|AB|=
1+k2
|x1-x2|
,
|MA|•|MB|
|AB|
=
(1+k2)|x1-1||x2-1|
1+k2
|x1-x2|
=
1+k2
|x1x2-(x1+x2)+1|
|x1-x2|

=
1+k2
|
3k2-3
1+3k2
-
6k2
1+3k2
+1|
(
6k2
1+3k2
)2-
4(3k2-3)
1+3k2
=
6
6
k2+1
k2+
1
2
=
6
6
1+
1
2k2+1
,
又k2≥0,所以
6
6
|MA|•|MB|
|AB|
6
6
2
=
3
3
;
②當直線l不存在斜率時,把x=1代入x2+3y2=3得y=±
6
3

此時
|MA|•|MB|
|AB|
=
(
6
3
)2
2
6
3
=
6
6
,
綜合①②得
|MA|•|MB|
|AB|
的取值范圍為[
6
6
3
3
].
點評:本題考查直線、橢圓方程及其位置關系,考查極坐標方程與直角坐標方程的互化及弦長公式,考查分類討論思想,考查學生分析解決問題的能力,(2)問中要考慮周全,直線l斜率不存在情況易漏.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

(1)幾何證明選講:如圖,CB是⊙O的直徑,AP是⊙O的切線,A為切點,AP與CB的延長線交于點P,若PA=8,PB=4,求AC的長度.
(2)坐標系與參數方程:在極坐標系Ox中,已知曲線C1:ρcos(θ+
π
4
)
=
2
2
與曲線C2;ρ=1相交于A、B兩點,求線段AB的長度.
(3)不等式選講:解關于x的不等式|x-1|+a-2≤0(a∈R).

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科目:高中數學 來源: 題型:

在極坐標系Ox中,已知曲線C1:ρcos(θ+
π
4
)
=
2
2
,C2:ρ=1(0≤θ≤π),C3
1
ρ2
=
cos2θ
3
+sin2θ
,設C1與C2交于點M
(I)求點M的極坐標;
(II)若動直線l過點M,且與曲線C3交于兩個不同的點A,B,求
|MA|•|MB|
|AB|
的最小值.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知曲線C1:ρcos(θ+
π
4
)=
2
2
;曲線C2:ρ2=
3
2-cos2θ

(1)試判斷曲線C1與C2的交點個數;
(2)若過點M(1,0)直線l與曲線C2交于兩個不同的點A,B,求
|MA|•|MB|
|AB|
的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:2012-2013學年浙江省臺州中學高三(上)第一次統(tǒng)練數學試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

在極坐標系Ox中,已知曲線C1:ρcos(=,C2:ρ=1(0≤θ≤π),C3,設C1與C2交于點M
(I)求點M的極坐標;
(II)若動直線l過點M,且與曲線C3交于兩個不同的點A,B,求的最小值.

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