Question

已知直線y=2x+k被拋物線x²=4y截得的弦長(zhǎng)AB為20，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)k的值；
（2）問(wèn)點(diǎn)C位于拋物線弧AOB上何處時(shí)，△ABC面積最大？

Answer 1

分析：（1）先把直線方程和拋物線方程聯(lián)立消去y，再利用弦長(zhǎng)公式就可求出實(shí)數(shù)k的值；
（2）△ABC面積最大，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)C到直線AB的距離最長(zhǎng)，所以點(diǎn)C在與直線AB平行的拋物線的切線上，利用斜率相等就可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答：解：（1）將y=2x+k代入x²=4y得x²-8x-4k=0，（2分）
由△=64+16k＞0可知k＞-4，
另一方面，弦長(zhǎng)AB=

5

×

64+16k

=20，解得k=1；（6分）
（2）當(dāng)k=1時(shí)，直線為y=2x+1，要使得內(nèi)接△ABC面積最大，
則只須使得y′C=

1

4

×2xC=2，（8分）
即x_C=4，即C位于（4，4）點(diǎn)處．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本小題綜合考查平面解析幾何知識(shí)，主要涉及平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)間距離公式、直線的方程與斜率、拋物線上的點(diǎn)與曲線方程的關(guān)系，考查運(yùn)算能力與思維能力、綜合分析問(wèn)題的能力．