Question

已知拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0），點(diǎn)P（m，n）為拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，其中m≥0．
（1）判斷拋物線(xiàn)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）定義：凡是與圓錐曲線(xiàn)有關(guān)的圓都稱(chēng)為該圓錐曲線(xiàn)的伴隨圓，如拋物線(xiàn)的內(nèi)切圓就是最常見(jiàn)的一種伴隨圓．此外還有以焦點(diǎn)弦為直徑的圓，以及以焦點(diǎn)弦為弦且過(guò)頂點(diǎn)的圓等．同類(lèi)的伴隨圓構(gòu)成一個(gè)圓系，圓系中有無(wú)數(shù)多個(gè)圓．求證：拋物線(xiàn)內(nèi)切圓系方程為：（x-p-m）²+y²=p²+2pm（其中m為參數(shù)且m≥0）；
（3）請(qǐng)研究拋物線(xiàn)以焦點(diǎn)弦為直徑的伴隨圓，推導(dǎo)出其圓系方程，并寫(xiě)出一個(gè)關(guān)于它的正確命題．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)正比例方程為y=kx（k≠0），聯(lián)立，由此可知拋物線(xiàn)與正比例函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)．
（2），所以過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)斜率為，所以過(guò)改點(diǎn)的法線(xiàn)斜率為，從而相應(yīng)的法線(xiàn)方程為，由此可知拋物線(xiàn)內(nèi)切圓系方程為：（x-p-m）²+y²=p²+2pm（其中m為參數(shù)且m≥0）．
（3）探究結(jié)論：拋物線(xiàn)以其焦點(diǎn)弦為直徑的伴隨圓系的方程為（k為參數(shù)且k≥0）
然后再結(jié)合題設(shè)條件進(jìn)行證明．
解答：解：（1）設(shè)正比例方程為y=kx（k≠0），聯(lián)立
得到，
因此拋物線(xiàn)與正比例函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)．（2分）
（2），
所以過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)斜率為，
所以過(guò)改點(diǎn)的法線(xiàn)斜率為，
從而相應(yīng)的法線(xiàn)方程為，
因?yàn)閽佄锞�(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
所以有其內(nèi)切圓的圓心必在x軸上，令y=0得x=p+m，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為R，
則R²=（p+m-m）²+（0-n）²=p²+n²=p²+2pm
從而拋物線(xiàn)內(nèi)切圓系方程為：（x-p-m）²+y²=p²+2pm（其中m為參數(shù)且m≥0）（6分）
（3）探究結(jié)論：拋物線(xiàn)以其焦點(diǎn)弦為直徑的伴隨圓系的方程為（k為參數(shù)且k≥0）（8分）
證明：設(shè)焦點(diǎn)弦AB所在直線(xiàn)方程為，與拋物線(xiàn)方成聯(lián)立便可以得到，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則；；
設(shè)伴隨圓圓心為（m，n），則，
設(shè)伴隨圓半徑為R
所以伴隨圓系方程為（11分）
命題：拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）以焦點(diǎn)弦為直徑的伴隨圓的圓心軌跡為拋物線(xiàn)．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．