Question

已知函數(shù)f（x）=mx²-mx-1．
（1）若對(duì)于x∈R，f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若對(duì)于x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）若f（x）＜0恒成立，則m=0或

m＜0 △=m2+4m＜0

，分別求出m的范圍后，綜合討論結(jié)果，可得答案．
（2）若對(duì)于x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，則m（x-

1

2

）²+

3

4

m-6＜0，x∈[1，3]恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類討論，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=-1＜0恒成立，
當(dāng)m≠0時(shí)，若f（x）＜0恒成立，
則

m＜0 △=m2+4m＜0

解得-4＜m＜0
綜上所述m的取值范圍為（-4，0]----------------（4分）
（2）要x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，
即m（x-

1

2

）²+

3

4

m-6＜0，x∈[1，3]恒成立．
令g（x）=m（x-

1

2

）²+

3

4

m-6，x∈[1，3]------------------------------（6分）
當(dāng)m＞0時(shí)，g（x）是增函數(shù)，
所以g（x）_max=g（3）=7m-6＜0，
解得m＜

6

7

．
所以0＜m＜

6

7

當(dāng)m=0時(shí)，-6＜0恒成立．
當(dāng)m＜0時(shí)，g（x）是減函數(shù)．
所以g（x）_min=g（1）=m-6＜0，
解得m＜6．
所以m＜0．
綜上所述，m＜

6

7

-----------------------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的最值，其中將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題是解答此類問題的關(guān)鍵．