Question

將兩個頂點(diǎn)在拋物線y²=2px（p＞0）上，另一個頂點(diǎn)（2p，0），這樣的正三角形有（　　）

A．

0個

B．

2個

C．

4個

D．

1個

Answer 1

考點(diǎn)：

拋物線的簡單性質(zhì)．

專題：

數(shù)形結(jié)合．

分析：

根據(jù)題意和拋物線以及正三角形的對稱性，可推斷出兩個邊的斜率，進(jìn)而表示出這兩條直線，每條直線與拋物線均有兩個交點(diǎn)，焦點(diǎn)兩側(cè)的兩交點(diǎn)連接，分別構(gòu)成一個等邊三角形，可知當(dāng)?shù)冗吶�角形關(guān)于x軸軸對稱時，有兩個．

解答：

解：y²=2px（P＞0）

等邊三角形的一個頂點(diǎn)位于（2p，0），另外兩個頂點(diǎn)在拋物線上，

則當(dāng)?shù)冗吶�角形關(guān)于x軸軸對稱時

兩個邊的斜率k=±tan30°=±，其方程為：y=±（x﹣2p），

每條直線與拋物線均有兩個交點(diǎn)，焦點(diǎn)兩側(cè)的兩交點(diǎn)連接，分別構(gòu)成一個等邊三角形，這樣的正三角形有2個，圖中黑色的兩個．

兩個頂點(diǎn)同時在拋物線上方如圖中藍(lán)色，或同時在下方各一個如圖中綠色，

故選C．

點(diǎn)評：

本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想，主要是利用拋物線和正三角形的對稱性．