（文）已知函數(shù)f（x）=x3-x．
（I）求曲線y=f（x）在點M（t，f（t））處的切線方程；
（II）設常數(shù)a＞0，如果過點P（a，m）可作曲線y=f（x）的三條切線，求m的取值范圍．
分析：（I）求出f′（x），根據(jù)切點為M（t，f（t）），得到切線的斜率為f'（t），所以根據(jù)斜率和M點坐標寫出切線方程即可；
（II）因切線過點（a，m），則存在t使m=（3t2-1）a-2t3，于是過點（a，m）可作曲線y=f（x）的三條切線即為方程m=-2t3+3at2-a（a＞0）有三個相異的實數(shù)根．記g（t）=-2t3+3at2-a，求出其導函數(shù)=0時t的值，利用t的值分區(qū)間討論導函數(shù)的正負得到g（t）的單調(diào)區(qū)間，利用g（t）的增減性得到g（t）的極值，結合圖象，求出m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x3-x，
∴f'（x）=3x2-1．
切線方程為y-f（t）=f'（t）（x-t），
即y=（3t2-1）x-2t3．
（Ⅱ） 已知?關于t的方程m=（3t2-1）a-2t3
即m=-2t3+3at2-a（a＞0）有三個不等實根．
令g（t）=-2t3+3at2-a，則g'（t）=-6t（t-a）．
可知g（t）在（-∞，0）遞減，
在（0，a）遞增，在（a，+∞）遞減，
g（t）的極小值為：g（0）=-a，極大值為g（a）=a3-a．
結合圖象知m∈（-a，a3-a）．
點評：考查學生會利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，會利用導數(shù)研究函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，考查了數(shù)形結合的思想．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)（文）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+2與直線4x-y+5=0切于點P（-1，1）．
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）若x＞0時，不等式f（x）≥mx2-2x+2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

（理） 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面邊長AB=2，側棱BB1的長為4，過點B作B1C的垂線交側棱CC1于點E，交線段B1C于點F．以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系D-xyz，如圖．
（Ⅰ）求證：A1C⊥平面BED；
（Ⅱ）求A1B與平面BDE所成角的正弦值的大小．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（文）已知函數(shù)f（x）=ax3-bx2+9x+2，若f（x）在x=1處的切線方程是3x+y-6=0．
（1）求f（x）的解析式及單調(diào)區(qū)間；
（2）若對于任意的x∈[
14
，2]，都有f（x）≥t2-2t-1成立，求函數(shù)g（t）=t2+t-2的最小值及最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（文）已知函數(shù)f（x）=x2lnx．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若b∈[-2，2]時，函數(shù)h（x）=
1
3
x3lnx-
1
9
x3-(2a+b)x，在（1，2）上為單調(diào)遞減函數(shù)．求實數(shù)a的范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（文）已知函數(shù)f（x）=2sinx+3tanx．項數(shù)為27的等差數(shù)列{an}滿足an∈(-
π
2
，
π
2
)，且公差d≠0．若f（a1）+f（a2）+…+f（a27）=0，則當k值為
13
13
時有f（ak）=0．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案