Question

（2012•福建）如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M為棱DD₁上的一點(diǎn)．
（1）求三棱錐A-MCC₁的體積；
（2）當(dāng)A₁M+MC取得最小值時(shí)，求證：B₁M⊥平面MAC．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，A到平面CDD₁C₁的距離等于AD=1，易求S△MCC1=1，從而可求VA-MCC1；
（2）將側(cè)面CDD₁C₁繞DD₁逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°展開，與側(cè)面ADD₁A₁共面，當(dāng)A₁，M，C′共線時(shí)，A₁M+MC取得最小值．易證CM⊥平面B₁C₁M，從而CM⊥B₁M，同理可證，B₁M⊥AM，
問題得到解決．

解答：解：（1）由長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁知，AD⊥平面CDD₁C₁，
∴點(diǎn)A到平面CDD₁C₁的距離等于AD=1，
又S△MCC1=

1

2

CC₁×CD=

1

2

×2×1=1，
∴VA-MCC1=

1

3

AD•S△MCC1=

1

3

．
（2）將側(cè)面CDD₁C₁繞DD₁逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°展開，與側(cè)面ADD₁A₁共面，

當(dāng)A₁，M，C′共線時(shí)，A₁M+MC取得最小值．
由AD=CD=1，AA₁=2，得M為DD₁的中點(diǎn)．連接C₁M，在△C₁MC中，C₁M=

2

，MC=

2

，C₁C=2，
∴C1C2=C1M2+MC²，得∠CMC₁=90°，即CM⊥C₁M，又B₁C₁⊥平面CDD₁C₁，
∴B₁C₁⊥CM，又B₁C₁∩C₁M=C₁，
∴CM⊥平面B₁C₁M，
∴CM⊥B₁M，同理可證，B₁M⊥AM，又AM∩MC=M，
∴B₁M⊥平面MAC

點(diǎn)評：本題考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系及幾何體的體積等知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．