一個(gè)圓錐和一個(gè)半球有公共底面,如果圓錐的體積和半球的體積相等,則這個(gè)圓錐的母線與軸所成角正弦值為( 。
A、
4
5
B、
3
5
C、
5
5
D、
2
5
5
分析:一個(gè)圓錐和一個(gè)半球有公共底面,如果圓錐的體積和半球的體積相等,設(shè)出底面半徑和母線與軸所成角為θ,表示出圓錐的高,根據(jù)圓錐體積公式V=
1
3
πR2H
,和球的體積公式V=
4
3
πR3,代入即可求得圓錐的母線與軸所成角正弦值.
解答:解:設(shè)圓錐的半徑為R,高為H,母線與軸所成角為θ,則圓錐的高
H=R•ctgθ
圓錐的體積,
V1=
1
3
πR2H
=
1
3
πR3
ctgθ
半球的體積
V2=
2
3
πR3

∵V1=V2
解得ctgθ=2,∵ctgθ=
cosθ
sinθ
=2,sin2θ+cos2θ=1
解得sinθ=
5
5

故選C.
點(diǎn)評(píng):考查圓錐和球的體積公式,及線線角的問(wèn)題,在計(jì)算過(guò)程中注意公式的靈活應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.
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一個(gè)圓錐和一個(gè)半球有公共底面,如果圓錐的體積與半球的體積恰好相等,則圓錐軸截面頂角的余弦值是( 。
A、
3
4
B、
4
3
C、-
3
5
D、
3
5

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3
5
3
5

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