Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，對任意n∈N^*都有S_n=（）²成立．
（1）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（2）記數列b_n=a_n+λ，n∈N^*，λ∈R，其前n項和為T_n．
①若數列{T_n}的最小值為T₆，求實數λ的取值范圍；
②若數列{b_n}中任意的不同兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“封閉數列”．試問：是否存在這樣的“封閉數列”{b_n}，使得對任意n∈N^*，都有T_n≠0，且＜+++L+＜．若存在，求實數λ的所有取值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用，即可得到法一或法二；
（2）①由題意可得T_n≥T₆，即可求出λ的取值范圍；
②因{bn}是“封閉數列”，設b_p+b_q=b_m（p，q，m∈Z^*，且任意兩個不相等 ）得2p-1+λ+2q-1+λ=2m-1+λ，化為λ=2（m-p-q）+1，則λ為奇數．
由任意n∈N^*，都有T_n≠0，且＜+++…+＜．
得 ，化為，即λ的可能值為1，3，5，7，9，
又＞0，因為，檢驗得滿足條件的λ=3，5，7，9，
解答：（1）法一：由S_n=（）² 得：①，②，
②-①得，得到2（a_n+1+a_n）=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）
由題知a_n+1+a_n≠0得a_n+1-a_n=2，
又，化為，解得a₁=1．
∴數列{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數列，∴a_n=1+（n-1）×1=2n-1，
因此前n項和S_n==n²；
法二：由，化為，解得a₁=1．
當n≥2時，，
得到，即
所以數列{}是以1為首項，1為公差的等差數列，
∴=n，得到．
（2）①由b_n+2n-1+λ得到其前n項和T_n=n²+λn，
由題意T_n最小值為T₆，即T_n≥T₆，n²+λn≥36+6λ，
化為，∴λ∈[-13，-11]．
②因{bn}是“封閉數列”，設b_p+b_q=b_m（p，q，m∈Z^*，且任意兩個不相等 ）得
2p-1+λ+2q-1+λ=2m-1+λ，化為λ=2（m-p-q）+1，則λ為奇數．
由任意n∈N^*，都有T_n≠0，且＜+++…+＜．
得 ，化為，即λ的可能值為1，3，5，7，9，
又＞0，因為，
檢驗得滿足條件的λ=3，5，7，9，
即存在這樣的“封閉數列”{b_n}，使得對任意n∈N^*，都有T_n≠0，
且＜+++…+＜．，
所以實數λ的所有取值集合為{3，5，7，9}．
點評：數列掌握進行轉化及正確理解“封閉數列”的意義是解題的關鍵．