對于函數(shù)f(x)，若在其定義域內(nèi)存在兩個實數(shù)a，b(a＜b)，使當(dāng)x∈[a，b]時，f(x)的值域也是[a，b]，則稱函數(shù)f(x)為“布林函數(shù)”，區(qū)間[a，b]稱為函數(shù)f(x)的“等域區(qū)間”.

（1）布林函數(shù)的等域區(qū)間是         .

（2）若函數(shù)是布林函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是           .

 

【答案】

（1）[0,1]；（2）.

【解析】

試題分析：（1）因為是增函數(shù)，則當(dāng)x∈[a，b]時，f(x)∈[f(a)，f(b)].

令f(a)＝a，且f(b)＝b，即，且，則a＝0，b＝1.

故布林函數(shù)的等域區(qū)間是[0,1].

（2）

因為是增函數(shù)，若是布林函數(shù)，則

存在實數(shù)a，b(－2≤a＜b)，使，即.所以a，b為方程的兩個實數(shù)根，從而方程有兩個不等實根.

令，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，.

由圖可知，當(dāng)時，直線與曲線有兩個不同交點(diǎn)，即方程

有兩個不等實根，故實數(shù)k的取值范圍是.

考點(diǎn)：新概念的理解、方程的根與函數(shù)的圖像

 

練習(xí)冊系列答案
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（08年黃岡中學(xué)一模理） (本小題滿分14分)對于函數(shù)f(x)，若存在，使成立，則稱x0為f(x)的不動點(diǎn). 如果函數(shù)有且僅有兩個不動點(diǎn)0，2，且

（1）試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知各項不為零且不為1的數(shù)列{an}滿足，求證：；

（3）設(shè)，為數(shù)列{bn}的前n項和，求證：

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       對于函數(shù)f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，則稱x0為f(x)的不動點(diǎn)  已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)

（1）若a=1,b=–2時，求f(x)的不動點(diǎn)；

（2）若對任意實數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個相異的不動點(diǎn)，求a的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若y=f(x)圖像上A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動點(diǎn)，且A、B關(guān)于直線y=kx+對稱，求b的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，則稱x0為f(x)的不動點(diǎn)．如果函數(shù)

f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)有兩個相異的不動點(diǎn)x1，x2．

⑴若x1<1<x2，且f(x)的圖象關(guān)于直線x＝m對稱，求證：<m<1；

⑵若|x1|<2且|x1－x2|＝2，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆湖南省華容縣高一第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

(本小題滿分6分）對于函數(shù)f(x)，若存在x0ÎR，使f(x0)＝x0成立，則稱點(diǎn)(x0，x0)為函數(shù)的不動點(diǎn)，已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx-b有不動點(diǎn)(1,1)和(-3,-3)，求a、b的值。

 

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