Question

已知α為第三象限角，問是否存在這樣的實數m，使得sinα、cosα是關于x的方程8x²+6mx+2m+1=0的兩個根，若存在，求出實數m，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：α為第三象限角，sinα、cosα的值都是負值，由于sinα、cosα是關于x的方程8x²+6mx+2m+1=0的兩個根，由上知函數f（x）在（-1，0）上有兩個負根，此條件可等價轉化為

f(0)＞0 f(-1)＞0 f(- 3 8 )≤0

，解此不等式，若有解說明存在，否則不存在

解答：解：由題意α為第三象限角，sinα、cosα的值都是負值，
由于sinα、cosα是關于x的方程8x²+6mx+2m+1=0的兩個根，
令函數f（x）=8x²+6mx+2m+1，其對稱軸是x=-

3

8

由上知函數f（x）在（-1，0）上有兩個負根
∴

f(0)＞0 f(-1)＞0 f(- 3 8 )≤0

整理得

2m+1＞0 9-4m＞1 9 8 - 9 4 m+2m+1≤0

即

m＞- 1 2 m＜2 m≥ 17 2

，無解

綜上知，不存在m∈R滿足題意．

點評：本題考查一元二次方程的根的分布與系數的關系，以及三角函數的有界性，求解的關鍵是根據根據根與系數的關系以及三角函數的有界性得到參數所滿足的不等式，從中解出參數的取值范圍來，本題是一個存在性問題，此類問題解題思想一般是假設存在，由此得到方程或不等式，對其求解，若能解出參數的范圍，則說明存在，否則說明不存在．本題在轉化時易忘記用三角函數的有界性，致使求出的參數范圍擴大，轉化時一定要注意等價．