Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為線段AD₁上的點，且滿足．
（Ⅰ）當(dāng)λ=1時，求證：平面ABC₁D₁⊥平面PDB；
（Ⅱ）試證無論λ為何值，三棱錐D-PBC₁的體積恒為定值；
（Ⅲ）求異面直線C₁P與CB₁所成的角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）如圖，以點D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系．當(dāng)λ=1時，分別求出平面PDB的法向量及平面ABC₁D₁的法向量，然后代入向量數(shù)量積公式，可得兩個平面的法向量的數(shù)量積為0，由此可得平面ABC₁D₁⊥平面PDB；
（Ⅱ）根據(jù)正方體的幾何特征，我們易得三角形PBC₁的面積為定值，D到平面PBC₁的距離為定值，則三棱錐D-BPC₁的體積為定值．
（III）分別確定異面直線C₁P與CB₁的方向向量（含參數(shù)λ），代入數(shù)量積公式后，易得兩個方向向量的數(shù)量積為0，即異面直線C₁P與CB₁所成的角的余弦值恒為0．
解答：證明：如圖，以點D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系．
（Ⅰ）當(dāng)λ=1時，即點P為線段AD₁的中點，則，又D（0，0，0）、B（1，1，0）
∴，，設(shè)平面PDB的法向量為，…（1分）
則，即，令y=1，解得，…（2分）
又∵點P為線段AD₁的中點，∴DP⊥AD₁，∴DP⊥平面ABC₁D₁，
∴平面ABC₁D₁的法向量為，…（3分）
∵，
∴平面ABC₁D₁⊥平面PDB，…（4分）
（Ⅱ）∵AD₁∥BC₁，P為線段AD₁上的點，
∴三角形PBC₁的面積為定值，即，…（6分）
又∵CD∥平面ABC₁D₁，
∴點D到平面PBC₁的距離為定值，即，…（8分）
∴三棱錐D-BPC₁的體積為定值，即．
也即無論λ為何值，三棱錐D-PBC₁的體積恒為定值；…（10分）
解：（Ⅲ）∵，∴，…（11分）
又C₁（0，1，1）、C（0，1，0）、B₁（1，1，1），
∴，，…（12分）
∵…（13分）
∴不管λ取值多少，都有C₁P⊥CB₁，即異面直線C₁P與CB₁所成的角的余弦值為0．…（14分）
點評：本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，棱錐的體積，平面與平面垂直的判定，（1）（3）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將面面夾角及線線夾角轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)正方體的幾何特征得到線線平行及線面平行，進而得到點到線，點到面的距離為定值．