Question

2．已知平行四邊形ABCD中，∠A=45°，且AB=BD=1，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖所示：
（1）求證：AB⊥CD；
（2）若M為AD的中點，求二面角A-BM-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出AB⊥BD，從而AB⊥面BCD，由此能證明AB⊥CD．
（2）以B為原點，在平面BCD中過B作BD的垂線為x軸，BD為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-BM-C的余弦值．

解答 證明：（1）∵AB=BD，∠A=45°，∴AB⊥BD
又∵平面ABD⊥平面BCD，且BD是平面ABD與平面BCD的交線，
∴AB⊥面BCD，
∵CD?平面BCD，∴AB⊥CD．
解：（2）以B為原點，在平面BCD中過B作BD的垂線為x軸，
BD為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標系，
則B（0，0，0），C（1，1，0），
D（0，1，0），A（0，0，1），M（0，$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{BC}=（1，1，0），\overrightarrow{BM}=（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，
面ABM的法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
設平面BMC的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，1），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
觀察知二面角A-BM-C為鈍角，
故二面角A-BM-C的余弦值為-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題上，注意向量法的合理運用．