Question

已知函數(shù)f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）試求出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）證明函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，可得f（0）=0，結(jié)合f(

1

2

)=

2

5

，可求出a，b值，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的解析式；
（2）直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明，設(shè)在（-1，1）上任取兩個(gè)數(shù)x₁，x₂，且x₁＞x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符號(hào)，從而得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即b=0
又∵f(

1

2

)=

2

5

，∴

a 2

1+ 1 4

=

2

5

，解得a=1
∴f(x)=

x

1+x2

．
（2）任取任取兩個(gè)數(shù)x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1•x2)

(1+x12)(1+x22)

＜0
因?yàn)閤₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，1+x12＞0，1+x22＞0，1-x₁•x₂＞0
則f（x₁）＜f（x₂）
故函數(shù)f(x)=

ax+b

1+x2

在（-1，1）上單調(diào)遞增

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的證明，解題的關(guān)鍵是化簡判定符號(hào)，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．