Question

已知哈市南湖f（x）=x²+

x

2

-4（x＞0），g（x）和f（x）的圖象關(guān)于原點對稱．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）是判斷g（x）在（-1，0）上的單調(diào)性，并給予證明．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）可設(shè)（x，y）是g（x）圖象上的點，所以該點關(guān)于原點的對稱點（-x，-y）在函數(shù)f（x）的圖象上，所以便得到-y=x2-

x

2

-4，所以便可得到g（x）=-x2+

x

2

+4；
（2）求g′（x），根據(jù)其在（-1，0）上的符號即可判斷g（x）在（-1，0）上的單調(diào)性．

解答： 解：（1）設(shè)（x，y）是g（x）圖象上的任意點，根據(jù)題意：
點（x，y）關(guān)于原點的對稱點（-x，-y）在f（x）的圖象上；
∴-y=(-x)2-

x

2

-4；
∴y=-x2+

x

2

+4；
即g（x）=-x2+

x

2

+4；
（2）g′（x）=

-4x+1

2

；
∴x∈（-1，0）時，g′（x）＞0；
∴g（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增．

點評：考查關(guān)于原點對稱的兩點的坐標表示，在函數(shù)圖象上的點的坐標滿足函數(shù)解析式，以及根據(jù)函數(shù)導數(shù)符號判斷函數(shù)在一區(qū)間上的單調(diào)性的方法．