Question

4．已知函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}sin（\frac{π}{2}x）-1，x＜0\\{log_a}x（a＞0，a≠1），x＞0\end{array}\right.$的圖象上關于y軸對稱的點恰有9對，則實數a的取值范圍是$（\frac{{\sqrt{21}}}{21}，\frac{{\sqrt{17}}}{17}）$．

Answer 1

分析 求出函數f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）-1，（x＜0）關于y軸對稱的解析式，利用數形結合即可得到結論．

解答 解：若x＞0，則-x＜0，
∵x＜0時，f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）-1，
∴f（-x）=sin（-$\frac{π}{2}$x）-1=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，
則若f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）-1，（x＜0）關于y軸對稱，
則f（-x）=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1=f（x），
即y=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0，
設g（x）=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0
作出函數g（x）的圖象，

要使y=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0與f（x）=log_ax，x＞0的圖象恰有9個交點，
則0＜a＜1且滿足f（17）＞g（17）=-2，f（21）＜g（21）=-2，
即-2＜log_a17，log_a21＜-2，
即log_a17＞log_aa^-2，log_a21＜log_aa^-2，
則17＜$\frac{1}{{a}^{2}}$，21＞$\frac{1}{{a}^{2}}$，
解得$\frac{\sqrt{21}}{21}$＜a＜$\frac{\sqrt{17}}{17}$，
故答案為：$（\frac{{\sqrt{21}}}{21}，\frac{{\sqrt{17}}}{17}）$

點評 本題主要考查分段函數的應用，作出函數關于y軸對稱的圖象，利用數形結合的思想是解決本題的關鍵，綜合性較強，有一定的難度．