Question

【題目】已知函數(shù)，的導函數(shù)為.

（1）試討論函數(shù)的零點個數(shù)；

（2）若對任意的，關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）先求函數(shù)的定義域，然后求函數(shù)的導數(shù)，對分類討論，將的零點問題，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象的交點個數(shù)來求解出來.（2）構(gòu)造函數(shù)，將原問題轉(zhuǎn)化為對恒成立，先利用確定的一個范圍，然后利用的二階導數(shù)驗證在這個范圍內(nèi)，的最大值不大于零，由此求得的取值范圍.

解：（1）由題意得的定義域為，.

（i）當時，，此時沒有零點；

（ii）當時，，

的零點個數(shù)等于直線與函數(shù)圖象的交點個數(shù)，可知直線與函數(shù)圖象的相切點，此時切線的斜率為.

①當，即時，兩個圖象沒有交點，即函數(shù)沒有零點；

②當，即時，兩個圖象有兩個交點，即函數(shù)有兩個零點；

③當，即時兩個圖象有一個交點，即函數(shù)有一個零點；

④當，即時，兩個圖象有一個交點，即函數(shù)有一個零點.

綜上，當時，函數(shù)沒有零點；

當或時，有一個零點；

當時，有兩個零點.

（2）設 ，

要使原不等式恒成立，則只要對恒成立，

所以.

令，則.

由于“對恒成立”的一個必要條件是，即.

當時，，，

所以在上單調(diào)遞減.

所以，，從而在上單調(diào)遞減，則，，

所以實數(shù)的取值范圍為.