已知函數(shù)f(x)=
2
sin(2x-
π
4
)+4cos2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及最小值；
（Ⅱ）若α∈[0，
π
2
]，且f（α）=3，求α的值．
分析：利用兩角和與差的正弦函數(shù)與倍角的余弦化成一個(gè)角的三角函數(shù)形式．
（I）根據(jù)y=sinx的最小正周期與最值，求解f（x）=
2
sin（2x+
π
4
）+2的最小正周期與最小值．
（II）利用f（α）=3，求出sin（2α+
π
4
）=
2
2
，再根據(jù)2α+
π
4
的范圍求出2α+
π
4
的值，從而求出α．
解答：解：f(x)=
2
sin(2x-
π
4
)+4cos2x=
2
•sin2x•cos
π
4
-
2
•cos2x•sin
π
4
+4•
1+cos2x
2

=sin2x-cos2x+2cos2x+2=sin2x+cos2x+2=
2
sin(2x+
π
4
)+2．
（Ⅰ）函數(shù)f（x）的最小正周期為
2π
2
=π，
函數(shù)f（x）的最小值為2-
2
．                                
（Ⅱ）由f（α）=3得
2
sin(2α+
π
4
)+2=3．
所以sin(2α+
π
4
)=
2
2
．
又因?yàn)?span id="xvf7pvv" class="MathJye">α∈[0，
π
2
]，所以
π
4
≤2α+
π
4
≤
5π
4
，
所以2α+
π
4
=
π
4
或2α+
π
4
=
3π
4
．
所以α=0或α=
π
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)，倍角的余弦公式，考查了三角函數(shù)的最小正周期及最值的求法，解答此類題的關(guān)鍵是化簡(jiǎn)三角函數(shù)為一個(gè)角的三角函數(shù)形式．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負(fù)數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過(guò)點(diǎn)（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）若f（x）+mx＞1對(duì)一切的正實(shí)數(shù)x均成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當(dāng)x=
4π
3
4π
3
時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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