Question

己知雙曲線C的方程為，若直線x-my-3=0截雙曲線的一支所得弦長為5．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）設過雙曲線C上的一點P的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點P₁、P₂，且點P分有向線段所成的比為λ（λ＞0），當時，求（O為坐標原點）的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由曲線C的方程為，得，c=2，e=，左、右焦點分別為：F₁（-3，0），F₂（3，0），故直線x-my-3=0恒過雙曲線的右焦點F₂（3，0），于是直線與雙曲線的右支相交，由雙曲線的第二定義得：=e，由此能求出m．
（Ⅱ）雙曲線C的兩條漸近線方程分別為，，設P（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），且點P分有向線段所成的比為λ（λ＞0），則，，，由此能求出（O為坐標原點）的值．
解答：解：（Ⅰ）由曲線C的方程為，
得，∴c=2，e=，
左、右焦點分別為：F₁（-3，0），F₂（3，0），
∴直線x-my-3=0恒過雙曲線的右焦點F₂（3，0），
于是直線與雙曲線的右支相交，
設兩個交點坐標分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由雙曲線的第二定義得：=e，
即|AF₂|=．
同理，，
∴|AB|=|AF₂|+|BF₂|=，
依題意，得，
∴x₁+x₂=6，
由直線過右焦點F₂（3，0），知x₁=x₂=3，
此時直線垂直于x軸，
∴m=0．
（Ⅱ）雙曲線C的兩條漸近線方程分別為，，
設P（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），且點P分有向線段所成的比為λ（λ＞0），
則，，，
∵點P（x，y）在雙曲線上，
∴，
化簡，得，
∵=，
同理，得，
∴，（λ＞0），
當時，=．
點評：本題考查雙曲線與直線的位置關系的綜合應用，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．