Question

19．雙曲線：$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（n＞0，m＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P在雙曲線上．且滿足∠F₁PF₁=$\frac{π}{3}$，S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=1，則m=$\root{4}{\frac{1}{3}}$．

Answer 1

分析 利用三角形的面積公式可得|PF₁||PF₂|=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，由雙曲線性質(zhì)得出|PF₁|-|PF₂|=2n，代入余弦定理即可消去n得出關(guān)于m的方程．

解答 解：∵S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}|P{F}_{1}||P{F}_{2}|sin∠{F}_{1}P{F}_{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$|PF₁||PF₂|=1，
∴|PF₁||PF₂|=$\frac{4}{\sqrt{3}}$．
∵P在雙曲線上，∴|PF₁|-|PF₂|=2n，
∴|PF₁|=2n+|PF₂|，∴（2n+|PF₂|）|PF₂|=$\frac{4}{\sqrt{3}}$．
在△F₁PF₂中，由余弦定理得：|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos∠F₁PF₂=|PF₁|²+|PF₂|²-|PF₁||PF₂|．
∵|F₁F₂|²=4c²=4m²+4n²，
∴4m²+4n²=（2n+|PF₂|）²+|PF₂|²-$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
∴4m²=2|PF₂|²+4n|PF₂|-$\frac{4}{\sqrt{3}}$=2（2n+|PF₂|）|PF₂|-$\frac{4}{\sqrt{3}}$=$\frac{8}{\sqrt{3}}-\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$．
∴m²=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{\frac{1}{3}}$，
∴m=$\root{4}{\frac{1}{3}}$．
故答案為：$\root{4}{\frac{1}{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，余弦定理，屬于中檔題．