Question

已知函數(shù)f（x）=a•b^x的圖象過點A（0，

1

16

），B（2，

1

4

）．
（I）求函數(shù)f（x）的表達式；
（II）設(shè)a_n=log₂f（n），n∈N^*，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，求S_n；
（III）在（II）的條件下，若b_n=a_n(

1

2

)n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）因為A和B在函數(shù)圖象上代入求出a，b即可得到f（x）的解析式；
（II）求得a_n=log₂f（n）=n-4，得到a_n為首項為-3，公差為1的等差數(shù)列，則S_n是數(shù)列的前n項和，利用等差數(shù)列的求和公式得到即可；
（III）在（II）的條件下，若b_n=a_n(

1

2

)n=（n-4）(

1

2

)n，所以得到T_n，求出其一半，利用錯位相減法得到即可．

解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）=a•b^x的圖象過點
A（0，

1

16

），B（2，

1

4

）
∴

a•b0= 1 16 a•b2= 1 4

解得：a=

1

16

，b=2，∴f（x）=2^x-4
（II）a_n=log₂^f（n）=

log

2n-4 2

=n-4
∴{a_n}是首項為-3，公差為1的等差數(shù)列
∴S_n=-3n+

1

2

n（n-1）=

1

2

n（n-7）；
（III）b_n=a_n(

1

2

)n=（n-4）(

1

2

)n
T_n=-3×

1

2

+（-2）×(

1

2

)2+…+（n-4）×(

1

2

)n①

1

2

Tn=-3×(

1

2

)2+（-2）×(

1

2

)3+…+（n-4）×(

1

2

)n-1②
①-②，得：

1

2

T_n=-3×

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-（n-4）×(

1

2

)n-1
∴T_n=-2-（n-2）(

1

2

)n．

點評：考查學(xué)生利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的能力，以及等差數(shù)列前n項和公式的運用能力，用錯位相減法求數(shù)列之和的能力．