Question

下列命題中，正確的命題有（　�。�
①命題“?x∈R，使得x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，都有x²+1≤3x”；
②設(shè)p、q為簡(jiǎn)單命題，若“p∨q”為假命題，則“￢p∧￢q為真命題”；
③“a＜2”是“函數(shù)f（x）=x³-2ax+a在（0，1）內(nèi)有極小值”的必要條件；
④命題“?x₀∈R，使得x₀²+mx₀+2m-3＜0”為假命題時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2，6]．

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：對(duì)于①，直接寫出命題的否定加以判斷；
對(duì)于②，直接由復(fù)合命題的真值表加以判斷；
對(duì)于③，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）=x³-2ax+a在（0，1）內(nèi)有極小值的充要條件加以判斷；
對(duì)于④，先寫出原命題的否定，再根據(jù)原命題為假，其否定一定為真，利用不等式對(duì)應(yīng)的是二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)建立不等關(guān)系，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：對(duì)于①，命題“?x∈R，使得x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，都有x²+1≤3x”，命題①正確；
對(duì)于②，設(shè)p、q為簡(jiǎn)單命題，若“p∨q”為假命題，則p、q中至少有一個(gè)假命題，若其中一真一假，
則“￢p∧￢q為假命題”，命題②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，∵y=x³-2ax+a，∴y′=3x²-2a，
令y′=0，得x=

2a 3

，（負(fù)值舍去），
∵函數(shù)y=x³-2ax+a在（0，1）內(nèi)有極小值，
∴0＜

2a 3

＜1，
∴a∈（0，

3

2

）．
∴③“a＜2”是“函數(shù)f（x）=x³-2ax+a在（0，1）內(nèi)有極小值”的必要條件，命題③正確；
對(duì)于④，命題“?x₀∈R，使得x₀²+mx₀+2m-3＜0”為假命題的否定為：
“?x₀∈R，都有x₀²+mx₀+2m-3≥0”，
由于命題“?x₀∈R，使得x₀²+mx₀+2m-3＜0”為假命題，
則其否定為：“?x₀∈R，都有x₀²+mx₀+2m-3≥0”，為真命題，
∴△=m²-4（2m-3）≤0，解得2≤m≤6．
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2，6]，命題④正確．
∴正確的命題有3個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，訓(xùn)練了利用命題的真假性求參數(shù)的取值范圍，是中檔題．