Question

在如圖所示的多面體中，四邊形ABB₁A₁和ACC₁A₁都為矩形．
（1）若AC⊥BC，證明：直線BC⊥平面ACC₁A₁；
（2）是否存在過A₁C的平面α，使得直線BC₁∥α平行，若存在請作出平面α并證明，若不存在請說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：作圖題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由矩形由找到垂直，證明AA₁⊥平面ABC；從而證明BC⊥平面ACC₁A₁．
（2）先說明存在，然后作圖證明；連接A₁C，AC₁，設(shè)A₁C∩AC₁=D，取線段AB的中點M，連接A₁M，MC．則平面A₁CM為為所求的平面α．

解答： 解：（1）證明：∵四邊形ABB₁A₁和ACC₁A₁都是矩形，
∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AC，
∵AB，AC為平面ABC內(nèi)的兩條相交直線，
∴AA₁⊥平面ABC；
∵直線BC?平面ABC，
∴AA₁⊥BC
又由已知，AC⊥BC，AA₁，AC為平面ACC₁A₁內(nèi)的兩條相交直線，
∴BC⊥平面ACC₁A₁．
（2）存在，證明如下：
連接A₁C，AC₁，設(shè)A₁C∩AC₁=D，取線段AB的中點M，連接A₁M，MC．
則平面A₁CM為為所求的平面α．
由作圖可知M，D分別為AB、AC₁的中點，
∴MD

∥ .

.

1

2

BC1，
又∵MD?α，BC₁?α
∴BC₁∥α．

點評：本題考查了線面垂直的判定定理與性質(zhì)，同時考查了作圖方法，屬于中檔題．