Question

已知：定義域為R的函數(shù)f(x)=ax-x3在區(qū)間(0，

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)內(nèi)是增函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）的極小值為-2，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)f（x）=ax-x³進(jìn)行求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化成f′（x）在（0，

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）上恒有f′（x）＞0，求出參數(shù)a的取值范圍．
（2）因為函數(shù)f（x）的極小值為-2，所以將極小值點的值代入代入到函數(shù)關(guān)系式中得到等式，解方程即可得a的值．

解答：解：（1）f′(x)=a-3x2，依題意x∈(0，

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)時，f′(x)＞0，即a-3x2＞0恒成立．
∴a≥3×(

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)2=

3

2

，所以a的范圍是[

3

2

，+∞)（6分）
（2）令f′(x)=0，即a-3x2=0，得x=±

a 3

，(a≥

3

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)．
當(dāng)x變化時f′（x）和f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，- a 3 ）	- a 3	（- a 3 ， a 3 ）	a 3	（ a 3 ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓	極小值	↑	極大值	↓

∴x=-

a 3

時，f（x）取極小值．
故f（-

a 3

）=a•（-

a 3

）-（-

a 3

）³=-2解得：a=3．（14分）

點評：主要考查函數(shù)單調(diào)性的綜合運用，函數(shù)的單調(diào)性特征與導(dǎo)數(shù)之間的綜合應(yīng)用能力，把兩個知識加以有機(jī)會組合．特別，在研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或決斷函數(shù)的單調(diào)性時，三個基本步驟不可省，一定要在定義域內(nèi)加以求解單調(diào)區(qū)間或判斷單調(diào)性．