Question

14．已知點A（0，2），B（4，6），$\overrightarrow{OM}$=t₁$\overrightarrow{OA}$+t₂$\overrightarrow{AB}$，其中t₁、t₂為實數(shù)；
（1）若點M在第二或第三象限，且t₁=2，求t₂的取值范圍；
（2）求證：當t₁=1時，不論t₂為何值，A、B、M三點共線；
（3）若t₁=a²，$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{AB}$，且△ABM的面積為12，求a和t₂的值．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)條件，得$\overrightarrow{OM}$=（4t₂，2t₁+4t₂），又點M在第二象限或第三象限，列出不等式求出t₂的取值范圍；
（2）由平面向量的共線定理，得$\overrightarrow{AM}$=t₂$\overrightarrow{AB}$，能證明A，B，M三點共線；
（3）由t₁=a²表示出$\overrightarrow{OM}$、$\overrightarrow{AB}$，利用$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{AB}$求出t₂=-$\frac{1}{4}$a²，再由S_△ABM=12求出a的值和t₂的值．

解答 解：（1）由A（0，2），B（4，6），
得$\overrightarrow{AB}$=（4，4），
∴$\overrightarrow{OM}$=t₁$\overrightarrow{OA}$+t₂$\overrightarrow{AB}$=（4t₂，2t₁+4t₂），
又點M在第二象限或第三象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{4t}_{2}＜0}\\{{2t}_{1}+{4t}_{2}≠0}\end{array}\right.$，
又t₁=2，
解得t₂＜0且t₂≠-1，
∴t₂的取值范圍是（-∞，-1）∪（-1，0）；
（2）證明：t₁=1時，
$\overrightarrow{OM}$=t₁$\overrightarrow{OA}$+t₂$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OA}$+t₂$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OA}$=t₂$\overrightarrow{AB}$，
即$\overrightarrow{AM}$=t₂$\overrightarrow{AB}$，
∴不論t₂為何值，A、B、M三點共線；
（3）∵當t₁=a²時，$\overrightarrow{OM}$=（4t₂，4t₂+2a²），
又∵$\overrightarrow{AB}$=（4，4），$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{AB}$，
∴4t₂×4+（4t₂+2a²）×4=0，
∴t₂=-$\frac{1}{4}$a²．
∴$\overrightarrow{OM}$=（-a²，a²）；
又∵|$\overrightarrow{AB}$|=4$\sqrt{2}$，
點M到直線AB：x-y+2=0的距離為
d=$\frac{|{-a}^{2}{-a}^{2}+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$|a²-1|；
∵S_△ABM=12，
∴$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•d=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$|a²-1|=12，
解得a=±2，此時t₂=-$\frac{1}{4}$a²=-1．

點評 本題主要考查兩個向量坐標形式的運算，三點共線的條件，兩個向量垂直的性質(zhì)，點到直線的距離公式的應用問題，是綜合性題目．