Question

已知幾何體A－BCED的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．

(1)求此幾何體的體積V的大小；

(2)求異面直線DE與AB所成角的余弦值；

(3)試探究在DE上是否存在點(diǎn)Q，使得AQ⊥BQ并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)由該幾何體的三視圖知面，且EC＝BC＝AC＝4 ，BD＝1， 　　∴ 　　∴． 　　即該幾何體的體積V為16． 　　(2)解法1：過點(diǎn)B作BF∥ED交EC于F，連結(jié)AF， 　　則∠FBA或其補(bǔ)角即為異面直線DE與AB所成的角． 　　在△BAF中，∵AB＝，BF＝AF＝． 　　∴． 　　即異面直線DE與AB所成的角的余弦值為． 　　解法2：以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系． 　　則A(4，0，0)，B(0，4，0)，D(0，4，1)，E(0，0，4) 　　∴， 　　∴ 　　∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為． 　　(3)解法1：在DE上存在點(diǎn)Q，使得AQBQ． 　　取BC中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OQ⊥DE于點(diǎn)Q， 　　則點(diǎn)Q滿足題設(shè)． 　　連結(jié)EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中 　　∵　∴∽　∴ 　　∵　∴　∴． 　　∵， 　　∴ 　　∴以O(shè)為圓心、以BC為直徑的圓與DE相切．切點(diǎn)為Q　∴ 　　∵面，面　∴　∴面 　　∵面ACQ．