已知函數(shù)f（x）是在（0，+∞）上每一點(diǎn)處可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′（x）-f（x）＞0在x＞0上恒成立，且f（x）=xax（a＞0，a≠1，x＞0），
7f(1)
3
-
f(2)
2
=
2
3
，若數(shù)列{
n
f(n)
}（n∈N）的前n項(xiàng)和為Sn，則
lim
n→∞
Sn=（　�。�
A、
1
2
B、1
C、-2
D、-
3
2
分析：通過
7f(1)
3
-
f(2)
2
=
2
3
，求出a 的值，利用xf′（x）-f（x）＞0在x＞0上恒成立，判斷a的值，然后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，求
出Sn，然后求出極限即可．
解答：解：f（x）=xax（a＞0，a≠1，x＞0），
7f(1)
3
-
f(2)
2
=
2
3
，所以7a-3a2=2，解得a=2或a=
1
3
，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是在（0，+∞）上每一點(diǎn)處可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′（x）-f（x）＞0在x＞0上恒成立，
所以(
f(x)
x
)′＞0即）ax是增函數(shù)，所以a=2，數(shù)列{
n
f(n)
}就是{
1
2n
}，
所以Sn=
1
2
+
1
4
+
1
8
+…+
1
2n
，因?yàn)楣葹椋?span id="db7z33x" class="MathJye">
1
2

lim
n→∞
Sn=
1
2
1-
1
2
=1．
故選B．
點(diǎn)評：本題是中檔題，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，注意分式的導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用是本題的關(guān)鍵，注意無窮等比數(shù)列公比小于1的數(shù)列求和的極限的應(yīng)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是在（0，+∞）上每一點(diǎn)均可導(dǎo)的函數(shù)，若xf/（x）＞f（x）在x＞0時(shí)恒成立．
（1）求證：函數(shù)g(x)=
f(x)x
在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）求證：當(dāng)x1＞0，x2＞0時(shí)，有f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2）；
（3）請將（2）問推廣到一般情況，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是在（0，+∞）上每一點(diǎn)處可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（Ⅰ）求證：函數(shù)g（x）=
f(x)
x
在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）當(dāng)x1＞0，x2＞0時(shí)，證明：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；
（Ⅲ）已知不等式ln（1+x）＜x在x＞-1且x≠0時(shí)恒成立，證明：
1
22
ln22+
1
32
ln32+
1
42
ln42+…+
1
(n+1)2
ln（n+1）2＞
n
2(n+1)(n+2)
（n∈N+）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是在（0，+∞）上每一點(diǎn)處均可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（Ⅰ）①求證：函數(shù)g(x)=
f(x)
x
在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)x1＞0，x2＞0時(shí)，證明：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；
（Ⅱ）已知不等式ln（x+1）＜x在x＞-1且x≠0時(shí)恒成立，求證：
1
22
ln22+
1
32
ln32+
1
42
ln42+…+
1
(n+1)2
ln(n+1)2＞
n
2(n+1)(n+2)
，(n∈N*)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年遼寧省名校高三數(shù)學(xué)單元測試：算法、復(fù)數(shù)、推理與證明（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）是在（0，+∞）上每一點(diǎn)均可導(dǎo)的函數(shù)，若xf/（x）＞f（x）在x＞0時(shí)恒成立．
（1）求證：函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）求證：當(dāng)x1＞0，x2＞0時(shí)，有f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2）；
（3）請將（2）問推廣到一般情況，并證明你的結(jié)論．

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