Question

4．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，圓Q：x²+y²-4x-2y+3=0的圓心Q在橢圓C上，點P（0，1）到橢圓C的右焦點的距離為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點P作直線l交橢圓C于A，B兩點，若S_△AQB=tan∠AQB，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由點P（0，1）到橢圓C的右焦點的距離為2PF|=2，可得c，由Q（2，1）在橢圓C上，得$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，及a²-b²=3，得a²，b²，
（2）由S_△AQB=tan∠AQB得：$\frac{1}{2}QA•QBsin∠AQB=tan∠AQB$，即QA•QBcos∠AQB=2，可得$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=2$，再聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達定理可求解．

解答 解：（1）因為橢圓C的右焦點F（c，0），|PF|=2，所以$c=\sqrt{3}$，
因為Q（2，1）在橢圓C上，所以$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，
由a²-b²=3，得a²=6，b²=3，
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）由S_△AQB=tan∠AQB得：$\frac{1}{2}QA•QBsin∠AQB=tan∠AQB$，
即QA•QBcos∠AQB=2，可得$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=2$，
①當l垂直x軸時，$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=（-2，\sqrt{3}-1）$$•（-2，-\sqrt{3}-1）=4+1-3=2$，
此時滿足題意，所以此時直線l的方程為x=0；
②當l不垂直x軸時，設直線l的方程為y=kx+1，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$消去y得（1+2k²）x²+4kx-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以${x_1}+{x_2}=\frac{-4k}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{-4}{{1+2{k^2}}}$，
代入$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=2$可得：（x₁-2，y₁-1）•（x₂-2，y₂-1）=2，
代入y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1，得$（{x_1}-2）（{x_2}-2）+{k^2}{x_1}{x_2}=2$，
代入化簡得：$\frac{{-4（{k^2}+1）}}{{1+2{k^2}}}+\frac{8k}{{1+2{k^2}}}+2=0$，解得$k=\frac{1}{4}$，
經(jīng)檢驗滿足題意，則直線l的方程為x-4y+4=0，
綜上所述直線l的方程為x=0或x-4y+4=0．

點評 本題考查了橢圓的方程，及直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題．